P3235 [HNOI2014] 江南乐

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题目描述

小 A 是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小 A 有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。

游戏的规则是这样的，首先给定一个数 $F$，然后游戏系统会产生 $T$ 组游戏。每一组游戏包含 $N$ 堆石子，小 A 和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于 $2$ 的正整数 $M$（$M$ 是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样），然后将任意一堆数量不小于 $F$ 的石子分成 $M$ 堆，并且满足这 $M$ 堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多 $1$（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定 $M$ 和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于 $F$ 时，他就输掉。补充：先手从 $N$ 堆石子中选择一堆数量不小于 $F$ 的石子分成 $M$ 堆后，此时共有 $N+M-1$ 堆石子，接下来小 A 从这 $N+M-1$ 堆石子中选择一堆数量不小于 $F$ 的石子，依此类推。

小 A 从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小 A 现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

输入格式

输入第一行包含两个正整数 $T$ 和 $F$，分别表示游戏组数与给定的数。

接下来 $T$ 行，每行第一个数 $N$ 表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后 $N$ 个正整数，表示这 $N$ 堆石子分别有多少个。

输出格式

输出一行，包含 $T$ 个用空格隔开的 $0$ 或 $1$ 的数，其中 $0$ 代表此时小 A（后手）会胜利，而 $1$ 代表小 A 的对手（先手）会胜利。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 3
1 1
1 2
1 3
1 5

输出 #1

0 0 1 1

说明/提示

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$T<100$，$N<100$，$F<100000$，每堆石子数量$<100000$。

以上所有数均为正整数。

题解

若一堆石子有 $x$ 个，分成 $m$ 堆后，必然有 $x\mathrm{mod}m$ 堆是 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 个，有 $m-x\mathrm{mod}m$ 堆是 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor +1$ 个。这些堆的 SG 函数的异或和就是 $\mathrm{SG}(x)$。该算法时间复杂度为 $O(n^2)$。

考虑到偶数个相同的数的异或和为 0，因此只要考虑 $x\mathrm{mod}m$ 和 $m-x\mathrm{mod}m$ 的奇偶性即可。

对于某些不同的 $m$，有 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 的值相同，使用整除分块可以对上述方案进行优化。

接下来是打表找规律。当 $x=5$ 时，对于不同的 $m$，列出分堆后的石子堆：

5 ： 2 2 2 2 1           
6 ： 2 2 2 1 1 1
7 ： 2 2 1 1 1 1 1
8 ： 2 1 1 1 1 1 1 1
9 ： 1 1 1 1 1 1 1 1 1

发现其中大小为 1 的石子堆数总是奇数个。

推论：分堆后某一个数目的石子堆数的奇偶性是一定的，证明：打表找规律。

• 若 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 为奇数，则 $m-x\mathrm{mod}m=m\times (1+\lfloor \frac{x}{m}\rfloor )-i$。其中 $1+\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 为偶数，则 $m\times (1+\lfloor \frac{x}{m}\rfloor )$ 也为偶数，原式奇偶性与 $m$ 无关。
• 若 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 为偶数，则 $x\mathrm{mod}m=x-m\times \lfloor \frac{x}{m}\rfloor$。其中 $m\times \lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 为偶数，则 $m\times \lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 也为偶数，原式奇偶性与 $m$ 无关。

按照 $\lfloor \frac{x}{m}\rfloor$ 分块后，块内分出的石子数的两种取值的个数的奇偶性的组合只有两种。例如 $x=9,m=5$ 时，1 的个数总是为奇数，2 的个数为奇数或偶数。

块内只需算出这两种不同的 SG 异或和即可。