EagleBear2002 的博客

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大数据分析-04-链接分析

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新型数据：图数据

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Citation networks and Maps of science
技术网络
Seven Bridges of Königsberg

图数据形态的网络

Web 表示为有向图

图形 含义
节点 网页
边 超链接

如何组织网络

方式一：网页索引（人工编辑）

Yahoo、DMOZ、LookSmart

方式二：网络搜索

信息检索调查：在一个小而可信的集合中找到相关文档

被搜索集合：新闻报纸、文章、引用等等。

缺陷：网络是巨大的，充满不可信、过时和随机的东西

网络搜索中的挑战：

  1. 网络中存在多个来源的数据，那么我们相信哪一个来源的数据呢？Trick：可信的网页彼此互相引用和连接
  2. 查询数据的最佳回答是什么？没有单个的最佳答案，实际关于数据的页面往往指向许多“数据”
在图中作节点排序

所有的网页的重要性不是“平等”的。在网络图节点的连接中有极高的多变性，我们通过链接结构来对页面进行排序。

链接分析算法

我们将要集中介绍一下三种链接分析方法来计算图中节点的重要性：

  1. Page Rank 算法
  2. Topic-Specific (Personalized) Page Rank 算法
  3. Web Spam Detection Algorithms 算法
链接投票

解决方法：链接投票，页面拥有的入链权重和越大越重要，来自重要（高权重）的链接权重更大，地推问题

考虑来自外部网站的链接：

  1. www.stanford.edu有 23400 个链接
  2. www.joe-schmoe.com有 1 个链接

所有入链都是等权重的吗？不是，来自重要的链接权重更大，递推问题

Page Rank 算法

Page Rank 算法示意图

Page Rank 的简单递推公式

  1. 所有链接的投票权重与其源网页的权重成比例
  2. 页面 j 的权重为 rj，拥有 n 个出链，则每个出链有的投票权重为：$r_{j_{out}} = \frac{r_j}{n}$
  3. 页面 j 自身的权重 rj 为其入链权重之和

Page Rank 网络局部示意：

Page Rank：“流”模型

  1. 来自重要页面的连接权重较大
  2. 被其他页面指向的页面是相对重要的的
  3. 为页面 j 定义“rank”：rj

$$ r_{j} = \sum\limits\limits_{i \to j} \frac{r_i}{d_i}\\ d_i 是节点 i 的出度 $$

图示意 本式没有特解

简单流等式的求解

上面的右图的式子没有特解，附加约束条件：

  1. 求解流等式：ry + ra + rm = 1
  2. 得到结果为：$r_y = \frac{2}{5}, r_a = \frac{2}{5}, r_m = \frac{1}{5}$

高斯法消去只适用于小规模的例子，我们需要其他方法来应对大规模的 Web 图

PageRank 的矩阵等式（核心）

r(0)：给定四个网页的初始的 PR 值

随机邻接矩阵 M

  1. 页面 i 有 di 个出链
  2. 如果 i → j，则 $M_{ji} = \frac{i}{d_i}$，不然 Mji = 0，列所有元素和为 1

排序向量 r

每一页有一个条目的向量。

ri 是页面 i 的出链权重，di 是出链的个数

$$ \sum\limits_{i}r_i = 1 \\ r_j = \sum\limits_{i->j}\frac{r_i}{d_i} \\ 流等式:r = M * r $$

特征向量等式

由上式可知，排序向量 r 是随机邻接矩阵 M 的特征向量

  1. 其第一个或主要特征向量，对应的特征值为 1
  2. M 的最大特征值为 1，因为 M 为列随机（非负项）
  3. 我们知道 r 是单位长度，并且每一列和为 1，Mr ≤ 1
  4. 我们可以高效解出 r，这种方法叫 Power iteration

Power iteraion 方法

  1. 如果给定一个有 n 个节点的网络图（节点是页，边是超链接）
  2. Power iteration 算法描述
    1. 假设这里有 N 个网络节点
    2. 初始化：$r^{(0)} = [\frac{1}{N}, ..., \frac{1}{N}]^{T}$
    3. 计算：r(t+1) = M * r(t)，重复操作直到满足停止条件
    4. 停止条件：|r(t+1)−r(t)| < ε

使用 power iteration 方法求解之前的例子

Power Iteration 方法原理

查找主要特征向量（对应于最大特征值的向量）的方法

$$ r^{(1)} = M \cdot r ^{(0)} \\ r^{(2)} = M^{2} \cdot r ^{(0)} \\ r^{(3)} = M^{3} \cdot r ^{(0)} \\ \dots \\ r^{(n)} = M^{n} \cdot r ^{(0)} \\ $$

证明：序列：M ⋅ r(0), M2 ⋅ r(0), M3 ⋅ r(0), …, Mk ⋅ r(0) 接近 M 的主要特征向量

  1. 假设矩阵 M 有 n 个线性独立特征变量 x1, x2, …, xn，对应的特征变量为 λ1, λ2, …, λn，并且 λ1 > λ2 > … > λn

  2. 向量 x1, x2, …, xn 构成一组基向量，所以我们可以写成 r(0) = c1 * x1 + c2 * x2 + … + cn * xn

  3. 所以我们进行计算可得：Mk * r(0) = c1 * λ1k * x1 + c2 * λ2k * x2 + … + cn * λnk * xn

  4. 提出 λ1k：$M^k * r ^{(0)} =\lambda^k_1 * ( c_1 * x_1 + c_2 * (\frac{\lambda_2}{\lambda_1})^k * x_2 + \dots + c_n * (\frac{\lambda_n}{\lambda_1})^k * x_n)$

  5. 由于之前的假设，可知 $\frac{\lambda_2}{\lambda_1,\frac{\lambda_3}{\lambda_1},\dots < 1}$

  6. $\lim\limits_{k\to\infty}\frac{\lambda_i}{\lambda_1}^k = 0$

  7. Mk * r(0) ≈ c1 * λ1k * x1

  8. 从上面证明的最后结论我们可以知道，如果 c1 等于 0，那么这个方法不能收敛

Random Walk 算法

假设我们有一个随机网络游标：

  1. 在任何时间 t，游标在第 i 个节点上
  2. 在时间 t+1，游标移动到 i 的随机一个外链上
  3. 最终结束到连接 i 节点的 j 节点上
  4. 重复以上的过程

p(t) 是页面上的概率分布

平稳分布

  1. 时间上满足等式：p(t+1) = M * p(t)
  2. 当满足等式：p(t+1) = M * p(t) = p(t) 的时候 p(t) 是 Random Walk 的一个平稳分布
  3. 结合之前矩阵形式的等式，我们可以知道 r 就是 Random Walk 的平稳分布

存在性和唯一性

随机游走理论（又称马尔可夫过程）的主要结果是：对于满足某些条件的图，平稳分布是唯一的，并且无论在时间 t = 0 时的初始概率分布如何，最终都会达到平稳分布

PageRank 的问题

  1. PageRank 是否收敛？
  2. PageRank 是否按照我们设想的方式收敛了？
  3. 结果是否有效可信？
  4. 有些点是死胡同？
  5. 有的网络拓扑形成了图结构（爬虫陷阱）？

收敛判定

是否收敛至期待水平

死胡同（Dead end）

  1. 随意漫步“无处可去”，这些页面导致权重被泄露
  2. 归根结底：该矩阵不是列随机的，因此无法满足我们的初始假设

解决方案：使用 Teleport

当无处可去时，总是通过传送使矩阵列成为随机的，调整 dead-ends 的权重，使其有随机的概率到图上的任意一个点。

另一种解决方案（裁剪方案，考试使用）

爬虫陷阱

  1. 所有的出链形成了一个环状结构，随机游走将被困在环中
  2. 这个不是一个问题，但是不是我们想要的结果：这个环吸收走了模型的所有的重要性

爬虫陷阱的解决方案：Teleports

Google 针对 Spider Traps 的解决方案：在每个时间步，随机冲浪者都有两个选择

  1. 对于概率 β：选择随机一个出链行走
  2. 对于概率 1 − β：选择随机一个点行走
  3. 概率 β 往往在 0.8-0.9 之间进行选择，经验上会选择 0.85，但是我们可以通过神经网络学习来确定 β 的值

冲浪者将在几步之内将其传送出 Spider Traps

整体的解决方案：Random Teleports

Google 的解决方案是对于所有情况，每一步，随机冲浪者都有两个选择：

  1. 对于概率 β：选择随机一个出链行走
  2. 对于概率 1 − β：选择随机一个点行走

PageRank 等式的修正：

$$ r_j = \sum\limits\limits_{i-j} \beta * \frac{r_i}{d_i} + (1 - \beta) * \frac{1}{N} $$

该公式假定/没有 dead ends。 我们可以预处理矩阵/删除所有 dead ends，也可以从 dead ends 中以概率 1.0 显式地跟随随机传送链接。

$A = \beta M + (1 - \beta)[\frac{1}{N}]_{N * N}$

然后我们求解一个递归问题：r = A * r

Power Iteration 方法仍然适用

Random Teleports 例子（β = 0.8）

问题：大规模网络计算会导致内存不足

假设 N = 1,000,000，我们很直观的可以感受到需要存储的数据数量极大

矩阵公式（Random Teleport 的等价形式）

  1. 从 i 到每隔一页添加一个传送链接并将传送概率设置为 $\frac{1 - \beta}{N}$
  2. 降低跟踪每个出站链接的可能性从$\frac{1}{|d_i|}$到$\frac{\beta}{|d_i|}$
  3. 等价于对每一个节点的权乘以(1−β)，然后均匀地重新分配

方程式重排

$$ r = A * r \\ A_{ji} = \beta*M_{ji} + \frac{1 - \beta}{N} \\ r_j = \sum\limits_{i = 1}\limits^{N}[\beta*M_{ji} + \frac{1 - \beta}{N}] * r_i \\ r_j = \sum\limits_{i = 1}\limits^{N}\beta * M_{ji}* r_i + \frac{1 - \beta}{N} * \sum\limits_{i = 1}\limits^{N}r_i \\ r_j = \sum\limits_{i = 1}\limits^{N}\beta * M_{ji}* r_i + \frac{1 - \beta}{N} \\ $$

所以：$r = \beta*M*r + [\frac{1-\beta}{N}]_N$

稀疏矩阵公式

$$ r = \beta*M*r + [\frac{1-\beta}{N}]_N $$

  1. $[\frac{1-\beta}{N}]_N$ 是一个 N 维 $\frac{1-\beta}{N}$ 的列向量（常量）
  2. M 是一个稀疏矩阵
  3. 过程我们可以规划为如下
    1. 计算 rnew = β * M * rold
    2. $r^{new} = r^{new} + [\frac{1-\beta}{N}]_N$
  4. 注意在上面这个过程中，如果 $\sum\limits_{j}r_{j}^{new} < 1$，我们需要对 rnew 进行格式化，使其和为 1（这种情况是 M 包含 dead-ends）

稀疏矩阵编码

  1. 仅使用非零条目对稀疏矩阵进行编码
  2. 假设有 1,000,000 条数据，4 _ 10 _ 1 billion = 40GB 对于内存是不现实的，但是对于磁盘是可以的

稀疏矩阵算法

我们假设 RAM 可以将 rnew 载入到磁盘，存储 rold 和矩阵 M 在磁盘中。

power-iteration 的一个步骤：

  1. 初始化：$r^{new} = \frac{1-\beta}{N}$
  2. 对于页面 i（出度为di）
    1. 从内存中加载：i, di, dest1, ..., destdi, rold(i)
    2. 对于j = 1...di
      • $r^{new}(dest_j) += \frac{\beta r^{old}}{d_i}(i)$

基于块更新的算法

进一步减少空间消耗，将 rnew 重新切分成 k 块，来适配内存，为每一块扫描 M 和rold

块更新消耗：

  1. k 次扫描 M 和 rold
  2. 每次 Power iteration 的消耗：k(|M|+|r|) + |r| = k|M| + (k+1)|r|

我们有没有做的更好了呢?

  1. M 相对于 r 更加大（大约有 10-20x），所以我们可以避免每一个迭代读 k 次

PageRank 完整算法

输入：

  1. 一个有向图 G，可以有 Spider Traps 和 Dead ends
  2. 参数β

输出：PageRank vector rnew

过程：

  1. 初始化：$r_{j}^{old} = \frac{1}{N}$
  2. 重复以下步骤直到收敛：$\sum\limits_{j}|r_j^{new} - r_j^{old}| > \varepsilon$
    1. $\forall j: r_j^{'new} = \sum\limits_{i->j}\beta\frac{r_i^{old}}{d_i}$
    2. ∀j : rj′new = 0，if in-degree of j is 0
    3. 现在，重新插入的 PageRank：
      1. $\forall j: r_j^{new} = r_j^{'new} + \frac{1 - S}{N}\ where\ S = \sum\limits_jr_{j}^{'new}$
    4. rold = rnew

如果图形没有死角，则泄漏的 PageRank 数量为 1 − β。 但是因为我们有死胡同，PageRank 的泄漏量可能更大。 我们必须通过计算 S 来明确说明这一点。

一次迭代的消耗：2|r| + |M|

Topic-Sensitive PageRank

其实上面的讨论我们回避了一个事实，那就是“网页重要性”其实没一个标准答案，对于不同的用户，甚至有很大的差别。例如，当搜索“苹果”时，一个数码爱好者可能是想要看 iphone 的信息，一个果农可能是想看苹果的价格走势和种植技巧，而一个小朋友可能在找苹果的简笔画。理想情况下，应该为每个用户维护一套专用向量，但面对海量用户这种方法显然不可行。所以搜索引擎一般会选择一种称为 Topic-Sensitive 的折中方案。Topic-Sensitive PageRank 的做法是预定义几个话题类别，例如体育、娱乐、科技等等，为每个话题单独维护一个向量，然后想办法关联用户的话题倾向，根据用户的话题倾向排序结果。

算法步骤

确定话题分类

一般来说，可以参考 Open Directory（DMOZ）的一级话题类别作为 topic。目前 DMOZ 的一级 topic 有：Arts（艺术）、Business（商务）、Computers（计算机）、Games（游戏）、Health（医疗健康）、Home（居家）、Kids and Teens（儿童）、News（新闻）、Recreation（娱乐修养）、Reference（参考）、Regional（地域）、Science（科技）、Shopping（购物）、Society（人文社会）、Sports（体育）。

网页 topic 归属

这一步需要将每个页面归入最合适的分类，具体归类有很多算法，例如可以使用 TF-IDF 基于词素归类，也可以聚类后人工归类，具体不再展开。这一步最终的结果是每个网页被归到其中一个 topic。

分 topic 向量计算

  1. 在 Topic-Sensitive PageRank 中，向量迭代公式为 $$ v' = (1- \beta)Mv + s\frac{\beta}{|s|} $$
  2. 首先是单位向量 e 变为了 s。s 是这样一个向量：对于某 topic 的 s，如果网页 k 在此 topic 中，则 s 中第 k 个元素为 1，否则为 0。注意对于每一个 topic 都有一个不同的 s。而|s|表示 s 中 1 的数量。
  3. 还是以上面的四张页面为例，假设页面 A 归为 Arts，B 归为 Computers，C 归为 Computers，D 归为 Sports。那么对于 Computers 这个 topic，s 就是： $$ s = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} $$
  • 而 lsl=2，因此，迭代公式为

针对 PageRank 的 Spam 攻击与反作弊

Link Spam：造出来很多空页来提高自己的页的 rank 值

反作弊：

  1. 检测拓扑
  2. TrustRank：如果比可信网站的 rank 高太多那么有理由认为是有问题的