数据库系统概论-06-关系数据理论

关系模式及范式

关系模式由五部分组成，是一个五元组： \(R(U, D, \textup{DOM}, F)\)

1. 关系名 \(R\) 是符号化的元组语义
2. \(U\) 为一组属性
3. \(D\) 为属性组 \(U\) 中的属性所来自的域
4. \(\textup{DOM}\) 为属性到域的映射
5. \(F\) 为属性组 \(U\) 上的一组数据依赖

由于 \(D\)、\(\textup{DOM}\) 与模式设计关系不大，因此可以把关系模式看作一个三元组：$R U, F $

作为二维表，关系要符合一个最基本的条件：每个分量必须是不可分开的数据项。满足了这个条件的关系模式就属于第一范式（1NF）。

数据依赖的主要类型：

1. 函数依赖（Functional Dependency，简记为 FD）
2. 多值依赖（Multi-Valued Dependency，简记为 MVD）

范式是符合某一种级别的关系模式的集合。关系数据库中的关系必须满足一定的要求。满足不同程度要求的为不同范式。

各种范式之间存在联系： \(1NF \supset 2NF \supset 3NF \supset BCNF \supset 4NF \supset 5NF\)。

一个低一级范式的关系模式，通过模式分解（schema decomposition）可以转换为若干个高一级范式的关系模式的集合，这种过程就叫规范化（normalization）。

函数依赖

设 \(R(U)\) 是一个属性集 \(U\) 上的关系模式，\(X\) 和 \(Y\) 是 \(U\) 的子集。若对于 \(R(U)\) 的任意一个可能的关系 \(r\)，\(r\) 中不可能存在两个元组在 \(X\) 上的属性值相等，而在 \(Y\) 上的属性值不等，则称“\(X\) 函数确定 \(Y\)”或“\(Y\) 函数依赖于 \(X\)”，记作 \(X \to Y\)，\(X\) 称为这个函数依赖的决定因素（Determinant）。函数依赖是语义范畴的概念。只能根据数据的语义来确定函数依赖。

在关系模式 \(R(U)\) 中，对于 \(U\) 的子集 \(X\) 和 \(Y\)：

1. 如果 \(X \to Y\)，但 \(Y \nsubseteq X\)，则称 \(X \to Y\) 是非平凡的函数依赖。
2. 若 \(X \to Y\)，但 \(Y \subseteq X\), 则称 \(X \to Y\) 是平凡的函数依赖。

对于任一关系模式，平凡函数依赖都是必然成立的，它不反映新的语义，因此若不特别声明，我们总是讨论非平凡函数依赖。

在 \(R(U)\) 中，如果 \(X \to Y\)，并且对于 \(X\) 的任何一个真子集 \(X'\), 都有 \(X' \nrightarrow Y\)，则称 \(Y\) 对 \(X\) 完全函数依赖，记作 \(X \overset{F}\to Y\)。若 \(X \to Y\)，但 \(Y\) 不完全函数依赖于 \(X\)，则称 \(Y\) 对 \(X\) 部分函数依赖，记作 \(X \overset{P}\to Y\)。

在 \(R(U)\) 中，如果 \(X \to Y(Y \nsubseteq X)\)，\(Y \nrightarrow X\)， \(Y \to Z\)，\(Z \nsubseteq Y\)，则称 \(Z\) 对 \(X\) 传递函数依赖（transitive functional dependency）。记为 \(X \overset{传递}\longrightarrow Z\)。

设 \(K\) 为 \(R \langle U,F \rangle\) 中的属性或属性组合。若 \(K \overset{F}{\to} U\)，则 \(K\) 称为 \(R\) 的一个候选码（Candidate Key）。如果 \(U\) 函数依赖于 \(K\)，即 \(K \to U\)，则 \(K\) 称为超码（Surpkey）。候选码是一类特殊的超码，即候选码的超集（如果存在）一定是超码，候选码的任意一个真子集都不是超码。（课件此处有误，以本文档内容为准）

课程幻灯片 ch33-函数依赖与码 中 码 1 这一页对超码的定义存在逻辑矛盾：

在《数据库系统概论（第五版）》（2014 年 9 月第 1 次印刷，以下简称 14 版）中对超码的定义如下：

而在《数据库系统概论（第五版）》（2021 年 11 月第 21 次印刷，以下简称 21 版）中对超码的定义如下：

课程幻灯片中定义与 14 版定义相同，与 21 版定义相左。

14 版定义中存在逻辑问题：\(U\) 完全函数依赖于候选码，\(U\) 部分函数依赖于超码，那么候选码就不可能是最小的超码，因为完全函数依赖和部分函数依赖是互斥关系。

21 版定义逻辑自洽，因此我认为课程幻灯片不应采用 14 版定义，而应采用 21 版定义。

勘误地址（Moodle 访问）：http://219.219.120.72/mod/forum/view.php?id=7066

关系模式 \(R\) 中属性或属性组 \(X\) 并非 \(R\) 的码，但 \(X\) 是另一个关系模式的码，则称 \(X\) 是 \(R\) 的外部码（Foreign key）也称外码。

1NF

如果一个关系模式 \(R\) 的所有属性都是不可分的基本数据项，则 \(R \in 1NF\)。

第一范式是对关系模式的最起码的要求。 不满足第一范式的数据库模式不能称为关系数据库。

2NF

若关系模式 \(R \in 1NF\)，并且每一个非主属性都完全函数依赖于任何一个候选码，则 \(R \in 2NF\)。

性质：不存在（某非主属性）部分依赖（于某一候选码）。

实例

下面是一个例子，该关系不是 2NF。其中 \(Sno\) 是学号，\(Cno\) 是课程号，\(Sdept\) 是系别，\(Sloc\) 是住所。虚线表示属性对候选码的部分函数依赖。

存在的问题

1. 无法添加未选课的学生；
2. 删除学生的最后一门课时，学生其他信息也被删除；
3. 转系（同时还要转宿舍）修改成本高；
4. 系别和住所信息多次存储。

解决方案

这一解决方案消除了问题 1、2 和 4。

3NF

设关系模式 \(R\ \langle U,F\ \rangle \in 1NF\)，若 \(R\) 中不存在这样的码 \(X\)、属性组 \(Y\) 及非主属性 \(Z(Z \nsupseteq Y)\)，使得 \(X \to Y, Y \to Z\) 成立，\(Y \nrightarrow X\) 不成立，则称 \(R \langle U,F \rangle \in 3NF\)。

性质：不存在（某非主属性）传递依赖、部分依赖（于某一候选码）

解决方案

在 2NF 的解决方案中，存在传递依赖 \(Sno \to Sdept \to Sloc\)。

解决方案为把 S-L 分解为 S-D 和 D-L。分解后的关系不再存在传递依赖，消除了问题 3。

BCNF

BCNF（Boyce Codd Normal Form）由 Boyce 和 Codd 提出，比 3NF 更进了一步。通常认为 BCNF 是修正的第三范式，有时也称为扩充的第三范式。

设关系模式 \(R \langle U,F \rangle \in 1NF\)，若 \(X \to Y\) 且 \(Y \nsubseteq X\) 时 \(X\) 必含有码，则 \(R \langle U,F \rangle \in BCNF\)。换言之，在关系模式 $R U,F $ 中，如果每一个决定属性集都包含候选码，则 \(R \in BCNF\)。

性质：

1. 所有非主属性都完全函数依赖于每个候选码（2NF 性质）
2. 所有主属性都完全函数依赖于每个不包含它的候选码（3NF 性质）
3. 每一个决定属性集都包含候选码（亦即没有任何属性完全函数依赖于非码的任何一组属性）

一个模式中的关系模式如果都属于 BCNF，那么在函数依赖范畴内，它已实现了彻底的分离，已消除了插入和删除的异常。

实例

关系模式 \(STJ(S,T,J)\) 中， \(S\) 表示学生，\(T\) 表示教师，\(J\) 表示课程。每一教师只教一门课。每门课有若干教师，某一学生 选定某门课，就对应一个固定的教师。

左边的关系不满足 BCNF，右边的关系满足 BCNF。

小结