摘要
经典哲学的危机揭示了人们对提供数学基础的数学和哲学标准的困惑。
题目中提到的三个学派都试图给数学提供一个坚实的基础，三个危机意味着这些学派未能完成其任务。本文“以现代的眼光”审视这些危机，使用今天可用的数学，而不仅仅是创建这些学派的先驱们所用的数学。因此，本文不以严格的历史方式来处理这三个危机，也不讨论目前大量的、技术性的数学，这些数学是由上述三个学派所引入的技术而产生的。原因之一是，这样的讨论需要一本书，而不是一篇短文；原因之二是，所有这些技术性数学与数学哲学关系不大，而在这篇文章中，我想强调逻辑主义、直觉主义和形式主义中那些建立在哲学之上的内容。
本文转载自柳渝科学网博客：科学网—数学中的三个危机 ：逻辑主义、直觉主义和形式主义 - 译文（1）：逻辑主义 - 柳渝的博文
逻辑主义
这个学派大约在 1884 年由德国哲学家、逻辑学家和数学家戈特洛布-弗雷格（1848-1925）开创，在 18 年之后被伯特兰-罗素重新发现，其他早期的逻辑学家是皮亚诺和罗素的《数学原理》的合作者怀特海（A.N. Whitehead）。逻辑主义的目的是要表明，经典数学是逻辑学的一部分。如果逻辑学家能够成功地执行他们的计划，诸如“为什么经典数学没有矛盾？ ”就会变成“为什么逻辑学没有矛盾？ ”这后一个问题至少是哲学家们可以彻底解决的问题。一般来说，逻辑主义的计划成功完成后，会给经典数学在逻辑方面打下坚实的基础。
显然，为了执行逻辑主义的这个计划，首先必须以某种方式定义什么是“经典数学”，什么是“逻辑”，应该指出什么是什么的一部分？恰恰是这两个定义，我们希望通过现代人的眼光来看，想象逻辑主义的先驱们拥有今天所有的数学知识。我们从经典数学开始。
为了实施他们的计划，罗素和怀特海创建了“数学原理”（Principia Mathematica），并于 1910 年出版，可以看作是一种形式化的集合论。虽然这个形式化理论并未完成，但罗素和怀特海认为它是完整的，并计划用它来证明数学可以被还原为逻辑。他们表明，在他们那个时代已知的所有经典数学，都可以从集合论中推导出来，从而从“数学原理”的公理中推导出来。因此，剩下要做的就是证明“数学原理”的所有公理都属于逻辑。
当然，我们也可以用任何形式化的集合论来代替“数学原理”。由于今天由 Zermelo 和 Frankel（ZF）开发的集合论比“数学原理”要有名，所以我们从现在开始将提到 ZF 而不是“数学原理”。ZF 只有九个公理，虽然其中有几个实际上是公理模式，但我们将把它们全部称为“公理”。逻辑主义者的方案现在变成：证明 ZF 的所有九个公理都属于逻辑。
这种逻辑主义的表述是基于这样一个论点：经典数学可以被定义为在 ZF 范围内可以被证明的定理集合。这种对经典数学的定义远非完美，正如在[12] 中讨论的那样。然而，上述逻辑主义的表述对于说明这个学派无法实施其计划的目的来说是令人满意的。我们现在来谈谈逻辑的定义。
为了理解逻辑主义，重要的是要看清楚逻辑主义的“逻辑”指什么，无论其所指是什么，肯定超出了经典逻辑的意义。如今，人们可以把经典逻辑定义为所有那些不使用非逻辑公理可以用一阶语言（在下面的形式主义部分讨论）证明的理论。因此，我们把自己限制在一阶逻辑中，并使用该逻辑的演绎规则和逻辑公理。一个定理的例子是排中律：如果 \(p\) 是一个命题，那么 \(p\) 或者它的否定为真；换句话说，命题 \(p \lor \lnot p\) 总是真的。
如果这个经典逻辑的定义也是逻辑主义者对逻辑的定义，那么，哪怕只有一秒钟就可以看出，认为所有的 ZF 都可以归结为逻辑，是一种愚蠢的想法。然而，逻辑主义的定义更为广泛，他们对于一个命题何时属于逻辑，也就是说，一个命题何时应该被称为“逻辑命题”，有一个一般的概念。他们说：一个逻辑命题是一个具有完整的一般意义的命题，它的真实性取决于它的形式而不是内容。这里，“命题”一词被用作“定理”的同义词。
例如，上述排中律 \(p \lor \lnot p\) 是一个逻辑命题。也就是说，这个定律并不取决于命题 \(p\) 的任何特殊内容，不管 \(p\) 是数学命题还是物理学命题，都不重要。相反，这个定律以“完全的普遍性”而成立，即对许多命题 \(p\) 都是如此。那为什么它能成立呢？逻辑主义者回答说：“因为它的形式”，这里他们所说的形式是指“句法形式”，\(p \lor \lnot p\) 的形式是由两个日常用语的连接词给出的，即“或”和否定的“非”。
一方面，不难论证，所有经典逻辑的理论，如上文所定义的，都是逻辑学意义上的逻辑命题。另一方面，没有先验的理由相信，不可能有经典逻辑之外的逻辑命题。这就是为什么我们说，逻辑主义对逻辑的定义比经典逻辑的定义更广泛。现在，逻辑主义者的任务变得更清楚了 ：包括证明 ZF 的所有九个公理都是逻辑主义意义上的逻辑命题。
评估逻辑主义在执行这一任务方面成败的唯一方法，就是要考察 ZF 的九条公理，并确定每条公理在逻辑主义的逻辑命题概念下是否失败。这将需要一篇单独的文章，只有对 ZF 完全熟悉的读者才会感兴趣。因此，我们只想说，这些公理中至少有两个，即无穷公理和选择公理，不可能被视为逻辑命题。例如，无穷公理说，存在着无限集。为什么我们接受这个公理？原因是每个人都熟悉许多无限集，例如自然数集或欧几里得空间的点集。因此，我们接受这个公理是基于我们对集合的日常经验，这清楚地表明，我们接受它是由于它的内容，而不是由于它的句法形式。一般来说，当一个公理声称我们根据日常经验所熟悉的对象的存在时，可以肯定这个公理不是逻辑主义意义上的逻辑命题。
这里是数学的第一个危机：由于 ZF 的九个公理中至少有两个不是逻辑主义意义上的逻辑命题，可以说这个学派在给数学一个坚实的基础的努力中失败了大约 20%。然而，逻辑主义对于现代数学逻辑的发展是重要的。事实上，正是逻辑主义以严格的方式开始了数理逻辑。弗雷格将两个量词，即“所有”和“存在”量词引入了逻辑学，而《数学原理》对数理逻辑发展的影响已成为历史。
重要的是，要认识到逻辑主义是建立在哲学基础上的。例如，当逻辑主义者告诉我们逻辑命题的意思时，他们使用的是哲学语言而不是数学语言。他们必须使用哲学语言来达到这个目的，因为数学根本无法处理如此广泛的定义。
逻辑主义哲学有时被说成是基于被称为“现实主义”（realism）的哲学流派。在中世纪的哲学中，“现实主义”代表了柏拉图的学说，即抽象实体有一个独立于人类思维的存在。当然，数学中充满了抽象的实体，如数、函数、集合等，根据柏拉图的说法，所有这些实体都存在于我们的思想之外，心智可以发现它们，但不能创造它们。这种学说的好处是，人们可以接受“集合”这样的概念，而不必担心智如何构建集合。根据现实主义，集合是为我们所发现的，而不是被我们所构造的，所有其他抽象实体也是如此。简而言之，现实主义允许我们在数学中接受更多的抽象实体，而不是将我们限制在只接受人类思维所能构造的实体的哲学。罗素是一个现实主义者，他接受了经典数学中出现的抽象实体，而没有质疑我们自己的头脑是否能够构造它们。这是逻辑主义和直觉主义之间的根本区别，因为在直觉主义中，只有当抽象实体是人为制造的，才会被接受。
直觉主义
这个学派大约在 1908 年由荷兰数学家布劳威尔（L.E.J.Brouwer，1881-1966）开创。直觉主义以一种与逻辑主义完全不同的方式来看待数学基础：逻辑主义从不认为经典数学有什么问题，他们固执想表明经典数学是逻辑学的一部分；而直觉主义则相反，他们认为经典数学存在很多问题。
到 1908 年，康托尔的集合论中出现了悖论，这里，“悖论”这个词被当作“矛盾”的同义词来使用。康托尔在 1870 年左右开创集合论，他的工作是“朴素”的，即非公理化。因此，他在形成集合时是如此的随意，以至于他自己、罗素和其他人在他的理论中发现了一些悖论。逻辑主义者认为这些悖论是常见的错误，是由数学家犯的错误造成的，而不是由数学的错误造成的。另一方面，直觉主义者认为这些悖论清楚地表明，经典数学本身远非完美，他们认为，数学必须自下而上地重建。
“底部”，对直觉主义而言就是数学的开端，是对自然数 1,2,3… 的解释（请注意，在自然数中不包括“零”这个数）。根据直觉主义哲学，人类对自然数有一种内在的原始直觉，这首先意味着，我们对数字 1 的意义有一种直接的肯定，其次，形成数字 1 的心理过程可以重复。当我们重复它时，我们得到了数字 2 的概念；当我们再次重复它时，得到了数字 3 的概念；以这种方式，人类可以为任何自然数 n 构造任何有限的初始段 1，2，…，n。 如果我们内在没有时间意识，这种一个接一个的自然数的心智构造是永远不可能的。“之后（After）”指的是时间，布劳威尔同意哲学家伊曼纽尔-康德（1724-1804）的观点，即人类对时间有一种直接的认识，康德用“直觉”（intuition）一词来表示“即时意识”（immediate awareness），这就是“直觉主义”这一名称的由来。
重要的是要注意，自然数的直觉构造只允许人们构造任意长的有限初始段 1,2,…n，它不允许构造所有自然数的整个封闭集合，而这在经典数学中是非常熟悉的。同样重要的是要注意到，这种构造既是“归纳的”（inductive），也是“能行的”（effective）。“归纳的”意义在于，如果一个人想要构造数字 3，就必须经历所有的心智步骤，首先构造 1，然后是 2，最后是 3；一个人不可能从天空中抓出 3 这个数字。它是“能行的”，因为一旦完成了一个自然数的构造，这个自然数就完全被构造出来了，它作为一个完全完成的心智构造站在我们面前，为我们研究它做好准备。当有人说： “我已经完成了数字 3 的心智构造”，这就像一个砌砖工人说：“我已经完成了砌这堵墙”，他只有在把每块石头铺好之后才能说出来。
我们现在来谈谈直觉主义对数学的定义。根据直觉主义哲学，数学应该被定义为一种心智活动，而不是一套定理（如上文关于逻辑主义的部分），它是一种活动，一个接一个地进行，那些归纳性的、能行的心智构造，就像自然数的直觉主义构造是归纳的能行的一样。直觉主义认为，人类能够识别一个特定的心智构造是否具有这两个属性。我们将把具有这两个特性的构造称为“心智构造”。因此，数学的直觉主义定义是： 数学是一种心智活动，一个接一个地进行构造。
这个定义的一个主要后果是，所有的直觉主义数学都是能行的，或者像人们通常所说的那样是“构造的”。从现在开始，我们将使用 “构造的”这个形容词作为 “能行的”同义词。也就是说，每一个构造都是“构造性”的，而直觉主义数学不过是在不断地进行构造。例如，如果一个实数 r 出现在一个直觉主义的证明或定理中，它绝不会仅仅因为存在证明而出现在那里，它出现在那里是因为它被从上到下地构造起来了。例如，这意味着 r 的每个小数位在原则上是能计算出来的。简言之，所有直觉主义的证明、定理、定义等等，都是完全构造性的。
一旦数学的直觉主义定义被理解和接受，剩下要做的就是以直觉主义的方式做数学。的确，直觉主义已经发展了直觉主义的算术、代数、分析、集合论等。然而，在这些数学的每一个分支中，都会出现一些经典的定理，这些定理并不是由构造组成的，因此，对直觉主义来说，这是毫无意义的文字组合。因此，我们不能说直觉主义已经重构了所有的经典数学，但这并不妨碍直觉主义者，因为他们不能得到的经典数学的部分无论是什么，对他们来说都是无意义的。直观主义的目的并不是要证明经典数学的合理性，而是给出一个数学的有效定义（valid definition），然后“等着看”从中产生什么数学。对直觉主义者来说，在直觉上经典数学不能实现的，都不是数学。我们在这里观察到，逻辑主义和直觉主义之间的另一个基本区别：逻辑主义者想要证明所有的经典数学。
现在让我们问，直觉主义学派在给我们提供一个良好的数学基础方面有多大的成功，为大多数数学家所接受。再一次，这个问题的回答方式与逻辑主义的回答方式有很大的不同：即使是坚定的逻辑主义者也不得不承认，他们的学派到目前为止大约有 20%还没有给数学一个坚实的基础；然而，一个坚定的直觉主义者完全有权利声称直觉主义已经给了数学一个完全满意的基础，有上面讨论的直觉主义的有意义的数学定义，有直觉主义哲学告诉我们为什么构造永远不会产生矛盾，因此，直觉主义数学是没有矛盾的。事实上，不仅是这个问题（没有矛盾），而且所有其他基础性的问题都在直觉主义中得到了完美的解决。
然而，如果从外部来看直觉主义，即从经典数学家的角度来看，就不得不说直觉主义没能给数学一个合适的基础。事实上，数学界几乎毫无例外地拒绝直觉主义，尽管直觉主义有许多非常有吸引力的特点，其中一些已经提到了的，但数学界为什么会这样做呢？
一个原因是，经典数学家断然拒绝放弃许多美丽的定理，而这些定理对直觉主义来说是毫无意义的文字组合。一个例子是拓扑学的布劳威尔定点定理，直觉主义拒绝该定点，因为该定点不能被构造出来，而只能通过存在证明来证明其存在。顺便说一下，这就是创造了直觉主义的布劳威尔，他的工作在（非直觉主义）拓扑学中也同样著名。
第二个原因来自于那些既能以经典方式又能以直觉方式证明的定理。经常发生的情况是，这样一个定理的经典证明很短，很优雅，也很有技巧，但不是构造性的。直观主义者当然会拒绝这样的证明，而用他们自己的构造性证明来代替同一定理。然而，这种构造性证明往往是经典证明的十倍，而且至少在经典数学家看来，失去了所有的优雅。一个例子是代数的基本定理，它在经典数学中的证明约为半页，但在直觉主义数学中的证明需要约 10 页。同样，经典数学家拒绝相信他们的聪明证明是没有意义的，无论这种证明是不是构造性的。
最后，有一些定理在直觉主义中成立，但在经典数学中是错误的。一个例子是直觉主义定理，该定理说每个为所有实数定义的实数值函数都是连续的。这个定理并不像它听起来那么奇怪，因为它取决于函数的直观概念：一个实数值函数 f 在直观主义中是为所有实数定义的，只有当对每个实数 r 的直观构造已经完成时，实数 f(r)才能被构造。一个经典数学家可能提到的任何明显不连续的函数都不满足这个构造标准。即便如此，像这样的定理在经典数学家看来是如此遥远，以至于他们拒绝接受任何承认它们的数学。
经典数学家拒绝直觉主义的这三个理由，既不是理性的也不是科学的，甚至也不是实用主义的理由，基于一种信念，即经典数学在物理学或其他科学中的应用比直觉主义更好。它们都是感性的理由，根植于对数学的深刻意义。(如果有读者知道有真正科学的拒绝直觉主义的做法，笔者将非常感谢）。我们现在面临着数学的第二个危机：直觉主义学派未能让至少大多数数学家接受直觉主义。
重要的是要认识到，像逻辑主义一样，直觉主义也是植根于哲学的。例如，当直觉主义者陈述他们对数学的定义时，如前所述，他们使用的是严格意义上的哲学语言，而不是数学语言。事实上，他们不可能用数学来做这样一个定义。数学的心智活动可以用哲学术语来定义，但这个定义必须使用一些不属于它所要定义的活动的术语，这是必然的。
正如逻辑主义与现实主义的关系一样，直觉主义与称为“概念主义”（conceptualism）的哲学有关。这种哲学认为，抽象实体的存在只是因为它们是由人的头脑构建的，这正是直觉主义的态度，它认为数学中出现的抽象实体，无论是序列还是顺序关系，或者其他什么，都是心智构造。这正是为什么人们在直觉主义中找不到在经典数学中以及在逻辑主义中出现的惊人的抽象实体集合。逻辑主义与直觉主义之间的对比和现实主义与概念主义之间的对比非常相似。
形式主义
这个学派是由德国数学家大卫-希尔伯特（1862-1943）于 1910 年左右创立的。诚然，人们可以说在十九世纪已经有了形式主义，因为弗雷格在他的《算术原理》（Grundegesetze）第二卷中反对形式主义；《算术原理》第一卷于 1893 年出版，第二卷于 1903 年出版。然而，现代形式主义的概念，包括有限推理，必须归功于希尔伯特。由于现代数理逻辑的书籍和课程通常都涉及形式主义，这个学派今天比逻辑主义或直觉主义都要有名。因此，我们将只讨论形式主义的重点，并从以下问题开始： “当我们进行形式化时，我们所形式化的是什么？ ”
答案是，我们对给定的公理化理论进行形式化。我们应该防止混淆公理化和形式化。欧几里德在公元前 300 年将几何学公理化，但形式化是在 2200 年后的逻辑主义者和形式主义者才开始的。公理化理论的例子是，欧几里得公理的平面几何，皮亚若公理的算术，具有九条公理的 ZF，等等。下一个问题是: “我们如何将一个给定的公理化理论形式化？ ”
假设给出了某种公理化的理论 T，我们考虑一阶逻辑， “把 T 形式化”意味着为 T 选择一种适当的一阶语言。一阶语言的词汇由五项组成，其中四项总是相同的，并且不依赖于给定的理论 T。这四项是：（1）无数个变量的列表—谁能在谈论数学时不使用变量？(2) 日常语言的连接词，如“非”、“和”、“或”、 “如果，那么”、“当且仅当” --谁能不使用连接词来谈论任何事情？(3) 等价符号=；同样，没有人可以在谈论数学时不使用这个符号。(4) 两个量词，“所有”量词和“存在”量词；第一个量词被用来说诸如“所有复数都有平方根”的事情，第二个量词被用来说诸如“存在无理数”的事情。 人们可以不用上述一些符号，但不必讨论这个问题。相反，我们转向第五项。
由于 T 是一个公理化的理论，它有所谓的“未定义项”。我们必须为 T 的每个未定义项选择一个合适的符号，这些符号构成了第五项。例如，在平面欧几里得几何的未定义术语中，出现了“点”、 “线”和“入射”，对于其中的每一个，都必须在一阶语言的词汇表中引入一个适当的符号。在未定义的术语中，出现了“零”、 “加法”和“乘法”，我们为它们选择的符号当然是 0、+和*。最容易形式化的理论是 ZF，因为这个理论只有一个未定义的术语，即成员关系。当然，我们为这种关系选择了通常的符号。这些符号，在公理化的理论 T 中每一个未定义项都有一个，通常被称为一阶语言的“参数”，因此参数构成了第五项。
由于参数是一阶语言词汇中唯一取决于给定公理化理论 T 的符号，人们只需选择这些参数就可以把 T 形式化。一旦做出这个选择，整个理论 T 就被完全形式化了。现在，我们不仅可以在所产生的一阶语言 L 中表达 T 的所有公理、定义和定理，而且还可以表达更多的东西! 我们还可以在 L 中表达所有经典逻辑的公理，因此也可以表达所有用来证明 T 的定理的证明。
但现在第三个问题出现了： “为什么会有人想把一个给定的公理化理论形式化？ ” 毕竟，欧几里德从来不认为有必要把他的公理化的几何学形式化。提出这个问题很重要，因为即使是伟大的皮亚诺也对形式化的真正目的有错误的想法，他用一种形式化的语言（非常类似于一阶语言）发表了他在微分方程方面最重要的发现之一，其结果是没有人读它，直到一些慈善家把文章翻译成普通德语。
现在让我们试着回答第三个问题。如果数学家在某个数学分支做技术研究，比如说欧几里得平面几何，他们感兴趣的是发现和证明这个数学分支的重要定理。对于这种技术性工作，形式化通常不仅没有帮助，反而是一种明显的阻碍。然而，如果人们提出这样的基础性问题，例如：“为什么这个数学分支没有矛盾？ ”，那么形式化就不仅仅是一种帮助，而是一种绝对的必要。
希尔伯特明白形式化是解决这种基础性问题的适当技术，这确实是他的天才之举。他教给我们的东西可以粗略地描述如下。假设 T 是一个公理化的理论，它被形式化为一阶语言 L。这个语言有如此精确的语法，它本身可以作为一个数学对象来研究。例如，我们可以问：“如果我们完全在 L 的形式上进行，只使用 T 的公理和经典逻辑的公理，所有这些都在 L 中表达，我们可能遇到矛盾吗？ ”如果我们能用数学方法证明这个问题的答案是 “no”，那么我们就有了一个数学证明，证明 T 理论是没有矛盾的!
这基本上就是著名的“希尔伯特计划”的全部内容。其目的是将数学的各个分支形式化，然后从数学上证明其中每一个分支都没有矛盾。事实上，如果通过这种技术，形式主义者能够证明 ZF 是没有矛盾的，那么他们就已经证明了所有的经典数学都是没有矛盾的，因为经典数学可以用 ZF 的九个公理来重新进行公理化。简而言之，形式主义者试图创造一种数学技术，通过这种技术可以证明数学是没有矛盾的。这就是形式主义的最初目的。
值得注意的是，逻辑主义和形式主义都将数学的各个分支形式化，但原因完全不同。逻辑主义者想用这种形式化来证明有关的数学分支属于逻辑学；形式主义者则想从数学上证明该分支不存在矛盾。由于这两个学派都“形式化”，他们有时会被混淆。
形式主义者成功地完成了他们的计划吗？没有! 1931 年，Kurt Godel 在[6]中表明，形式化不能被视为一种数学技术，通过这种技术可以证明数学没有矛盾。那篇论文中的定理为希尔伯特计划敲响了丧钟，它涉及的公理化理论不存在矛盾，其公理足够强大，以至于可以用它们来进行算术。当然，其公理如此强大的理论的例子是 Peano 算术和 ZF。假设 T 是这样一个理论，并且 T 已经通过一阶语言 L 被形式化了。那么哥德尔定理用非技术性语言说： “L 中没有任何句子可以被解释为断言 T 是没有矛盾的，可以在语言 L 中被正式证明”。尽管对这一定理的解释有些争议，但大多数数学家从中得出的结论是，希尔伯特计划是无法进行的，数学无法证明其自身的无矛盾性。那么，这里就是数学的第三个危机。
当然，形式主义学派对当今数学的巨大重要性是众所周知的。正是在这一学派中，现代数理逻辑及其各种分支，如模型理论、递归理论等，真正进入了盛世。
形式主义和逻辑主义、直觉主义一样，都是建立在哲学上的，但形式主义的哲学根源比其他两个学派的哲学根源要隐蔽一些。不过，人们通过对希尔伯特计划稍作思考就可以找到。
再让 T 成为一个公理化的理论，该理论已经在一阶语言 L 中被形式化了。在执行希尔伯特计划时，人们必须谈论 L 语言中的一个对象，而在这样做的时候，人们并不是在那个安全的语言 L 本身中说话。相反，人们是在用普通的、日常的语言谈论 L，不管是英语、法语还是什么。在使用我们的自然语言而不是正式语言 L 的时候，当然会有各种危险，即矛盾，事实上，任何种类的错误，都可能溜进去。希尔伯特说，避免这种危险的方法是，当一个人用他的自然语言谈论 L 的时候，他只使用绝对安全的、没有任何怀疑的推理。他把这样的推理称为“有限推理”，当然，他还必须给它们下一个定义。笔者所知的有限推理的最明确的定义是由法国形式主义者 Herbrand 给出的，如果我们用“有限推理”代替“直觉的”：
- 我们所理解的有限论证是指满足以下条件的论证：在这个论证中，我们只考虑给定的有限数量的对象和函数；这些函数是定义明确的，它们的定义允许以一种单一的方式计算它们的值；我们从不说明一个对象的存在而不给出构建它的方法；我们从不考虑无限集合的所有对象 x 的全体；当我们说一个论证（或一个定理）对所有这些 x 都是真实的，我们的意思是，对于每个 x 本身，有可能重复有关的一般论证，这应该被视为只是这些特殊论证的原型。
请注意，这个定义使用的是哲学语言而不是数学语言，即便如此，如果不了解有限推理的内容，就没有人能够声称理解希尔伯特计划。当形式主义定义有限推理时，形式主义的哲学根源就会暴露无遗。
我们已经把逻辑主义和现实主义，以及直觉主义和概念主义进行了比较。与形式主义相联系的哲学是“唯名主义”，这是一种声称抽象实体不存在的哲学，既不像现实主义所坚持的那样存在于人的头脑之外，也不像概念主义所坚持的那样存在于人的头脑中的精神构造。对于唯名论来说，抽象实体只是发声的话语或书写的线条，仅仅是名字。这就是“唯名论”这个词的由来，因为在拉丁语中，唯名论的意思是“属于一个名字”。同样，当形式主义者试图证明某个公理化的理论 T 是没有矛盾的，他们并不研究 T 中出现的抽象实体，而是研究用来形式化 T 的一阶语言 L。也就是说，他们研究如何通过正确使用 L 的词汇来形成 L 的句子；如何通过正确使用 L 的那些被挑出来作为公理的特殊句子来证明其中的某些句子；特别是，他们试图证明 L 的任何句子都不能同时被证明和反证，因为他们会因此确立原始理论 T 是没有矛盾的。重要的一点是，对 L 的整个研究是一种严格的句法研究，因为意义抽象实体与 L 的句子相关联。对这种语言的研究是通过考虑 L 的句子是无意义的表达，它们根据明确的句法规则被操纵，就像国际象棋的棋子是无意义的数字，根据游戏规则被推来推去。对严格形式主义者来说， “做数学”就是“根据明确的句法规则来操纵一阶语言的无意义符号”。因此，严格的形式主义者不处理抽象的实体，如无限数列或序数，而只处理它们的无意义的名字，即一阶语言中的适当表达。形式主义和唯名论都避免直接使用抽象实体，这就是为什么形式主义应该与唯名论进行比较的原因。
逻辑主义、直觉主义和形式主义分别对应于现实主义、概念主义和唯名论，这一事实在奎因的文章《论存在的东西》中得到了揭示。
后记
数学中的这三个危机把我们带到了何处？它们没有给我们一个坚实的数学基础。哥德尔的论文于 1931 年发表后，数学家们集体沮丧地举起了手，转而远离了数学哲学。然而，本文所讨论的三个学派的影响仍然很大，因为它们给我们带来了许多新的和美丽的数学，主要涉及集合论、直觉主义和各种构造主义的修改，以及数理逻辑及其许多分支。然而，尽管这种数学常常被称为“数学基础”，但人们不能因为在这些领域工作就说自己在推动数学哲学的发展。现代数理逻辑、集合论和直觉主义及其修改，如今都是数学的技术分支，就像代数或分析一样，除非我们直接回到数学哲学，否则我们不能指望为我们的科学找到一个坚实的基础。显然，这样的基础对于技术性的数学研究是不需要的，但我们中间仍有一些人渴望得到这样的基础。作者认为，数学基础的关键隐藏在逻辑主义、直觉主义和形式主义的哲学根源中，这就是为什么三次揭开了这些根源。
