EagleBear2002 的博客

这里必须根绝一切犹豫,这里任何怯懦都无济于事

P5014 水の三角(修改版)

题目背景

这个三角图真好看。。

这个是 ${\rm 4}$ 阶三角图。。

题目描述

现在我们定义一个三角图是像上面一样的图。

请求出一个无限大的三角图从 $1$ 号点走到 $u$ 号点的方案数。

有 $T$ 组询问。

输入格式

第一行一个正整数 $T$。

第二行 $T$ 个正整数 $u_i$。

输出格式

$T$ 行,共 $T$ 个正整数,表示答案模 $998244353$ 的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

1
2
3
1 3 6

输出 #1

1
2
3
1
2
6

说明/提示

${\rm Subtask 1(10\ pts)}$:$1 \leq T \leq 100, \qquad 1 \leq u_i \leq 55$

${\rm Subtask 2(20\ pts)}$:$1 \leq T \leq 100, \qquad 1 \leq u_i \leq 12502500$

${\rm Subtask 3(30\ pts)}$:$1 \leq T \leq 100, \qquad 1 \leq u_i \leq 500000500000 \qquad u_i=\frac{x \times (x + 1)}{2}$

${\rm Subtask 4(40\ pts)}$:$1 \leq T \leq 100, \qquad 1 \leq u_i \leq 500000500000$

题解

给定三角网格图,求从点 $(1,1)$ 走到点 $(n,m)$ 的路径方案数。

首先将三角推平,变成这个样子:

1
2
3
4
5
1
| \
2---3
| | \
4---5---6

如果不走斜线,显然答案就是卡特兰数。总共向下走 $m-1$ 步,向右走 $n-1$ 步,方案数为:

$$ C_{n+m-2}^{m-1} - C_{n+m-2}^{m-2} $$

接下来考虑走斜线的情况。假设走了 $i$ 次斜线,那么向下走的次数变为了 $n' = n-1-i$,向右走的次数变为了 $m' = m-1-i$。

走直线的所有排列方案数为:

$$ C_{n'+m'}^{m'} - C_{n'+m'}^{m'-1} $$

根据插板法,插入走斜线的方案数为:

$$ C_{n'+m'+i}^{i} $$

根据乘法原理,总方案数为:

$$ \sum_{i=0}^{m-1} C_{n'+m'+i}^{i} \left[ C_{n'+m'}^{m'} - C_{n'+m'}^{m'-1} \right] $$