EagleBear2002 的博客

这里必须根绝一切犹豫,这里任何怯懦都无济于事

P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿

题目描述

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。

B 君在玩一个游戏,这个游戏由 $n$ 个灯和 $n$ 个开关组成,给定这 $n$ 个灯的初始状态,下标为从 $1$ 到 $n$ 的正整数。

每个灯有两个状态亮和灭,我们用 $1$ 来表示这个灯是亮的,用 $0$ 表示这个灯是灭的,游戏的目标是使所有灯都灭掉。

但是当操作第 $i$ 个开关时,所有编号为 $i$ 的约数(包括 $1$ 和 $i$)的灯的状态都会被改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。

B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机操作一个开关,直到所有灯都灭掉。

这个策略需要的操作次数很多,B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,可以通过操作小于等于 $k$ 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个策略显然小于等于 $k$ 步)操作这些开关。

B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 $k$ 步,使用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。

这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 $n$ 的阶乘一定是整数,所以他只需要知道这个整数对 $100003$ 取模之后的结果。

输入格式

第一行两个整数 $n, k$。

接下来一行 $n$ 个整数,每个整数是 $0$ 或者 $1$,其中第 $i$ 个整数表示第 $i$ 个灯的初始情况。

输出格式

输出一行,为操作次数的期望乘以 $n$ 的阶乘对 $100003$ 取模之后的结果。

输入输出样例 #1

输入 #1

1
2
4 0
0 0 1 1

输出 #1

1
512

输入输出样例 #2

输入 #2

1
2
5 0
1 0 1 1 1

输出 #2

1
5120

说明/提示

  • 对于 $0%$ 的测试点,和样例一模一样;
  • 对于另外 $30%$ 的测试点,$n \leq 10$;
  • 对于另外 $20%$ 的测试点,$n \leq 100$;
  • 对于另外 $30%$ 的测试点,$n \leq 1000$;
  • 对于 $100%$ 的测试点,$1 \leq n \leq 100000, 0 \leq k \leq n$;
  • 对于以上每部分测试点,均有一半的数据满足 $k = n$。

题解

要用最少次数完成游戏有一个贪心解法:从大到小遍历每个灯,对每个亮的灯 $i$,操作一次开关 $i$。用集合 $S$ 表示这个最优解法中所有操作的开关。

容易发现,对于操作任何一个开关的效果,无论如何操作其他开关都不能获得等价的效果。因此在一个合适的解法中,必然操作了 $S$ 中每个开关奇数次,$S$ 之外的每个开关偶数次。

我们设 $f(i)$ 表示从需要操作 $i$ 个开关的状态,转移到需要操作 $i-1$ 个开关的状态的期望操作次数。状态转移方程如下:

$$ f(i) = \frac{i}{n} + \frac{n-i}{n} \times (f(i) + f(i+1) + 1) $$

这个的意思实际上是,有 $\frac{i}{n}$ 的概率操作正确的开关,有另外 $\frac{n-i}{n}$ 的操作错误的开关,并且之后需要将这个错误的开关再操作一次并回到需要操作 $i$ 个开关的状态。

化简上式得到:

$$ f(i) = \frac{n + (n-i) \times f(i+1)}{i} $$

求出 $f$ 之后即可得到 $|S|$。若 $|S| < k$,则期望答案为 $|S|$。否则期望答案为 $\sum_{i=k+1}^{|S|}f(i) + k$。