P3750 [六省联考 2017] 分手是祝愿

题目描述

Zeit und Raum trennen dich und mich.

时空将你我分开。

B 君在玩一个游戏，这个游戏由 $n$ 个灯和 $n$ 个开关组成，给定这 $n$ 个灯的初始状态，下标为从 $1$ 到 $n$ 的正整数。

每个灯有两个状态亮和灭，我们用 $1$ 来表示这个灯是亮的，用 $0$ 表示这个灯是灭的，游戏的目标是使所有灯都灭掉。

但是当操作第 $i$ 个开关时，所有编号为 $i$ 的约数（包括 $1$ 和 $i$ ）的灯的状态都会被改变，即从亮变成灭，或者是从灭变成亮。

B 君发现这个游戏很难，于是想到了这样的一个策略，每次等概率随机操作一个开关，直到所有灯都灭掉。

这个策略需要的操作次数很多，B 君想到这样的一个优化。如果当前局面，可以通过操作小于等于 $k$ 个开关使所有灯都灭掉，那么他将不再随机，直接选择操作次数最小的操作方法（这个策略显然小于等于 $k$ 步）操作这些开关。

B 君想知道按照这个策略（也就是先随机操作，最后小于等于 $k$ 步，使用操作次数最小的操作方法）的操作次数的期望。

这个期望可能很大，但是 B 君发现这个期望乘以 $n$ 的阶乘一定是整数，所以他只需要知道这个整数对 $100003$ 取模之后的结果。

第一行两个整数 $n, k$ 。

接下来一行 $n$ 个整数，每个整数是 $0$ 或者 $1$ ，其中第 $i$ 个整数表示第 $i$ 个灯的初始情况。

输出一行，为操作次数的期望乘以 $n$ 的阶乘对 $100003$ 取模之后的结果。

1 2	`4 0 0 0 1 1`

1 2	`5 0 1 0 1 1 1`

要用最少次数完成游戏有一个贪心解法：从大到小遍历每个灯，对每个亮的灯 $i$ ，操作一次开关 $i$ 。用集合 $S$ 表示这个最优解法中所有操作的开关。

容易发现，对于操作任何一个开关的效果，无论如何操作其他开关都不能获得等价的效果。因此在一个合适的解法中，必然操作了 $S$ 中每个开关奇数次， $S$ 之外的每个开关偶数次。

我们设 $f (i)$ 表示从需要操作 $i$ 个开关的状态，转移到需要操作 $i - 1$ 个开关的状态的期望操作次数。状态转移方程如下：

f (i) = \frac{i}{n} + \frac{n - i}{n} \times (f (i) + f (i + 1) + 1)

这个的意思实际上是，有 $\frac{i}{n}$ 的概率操作正确的开关，有另外 $\frac{n - i}{n}$ 的操作错误的开关，并且之后需要将这个错误的开关再操作一次并回到需要操作 $i$ 个开关的状态。

化简上式得到：

f (i) = \frac{n + (n - i) \times f (i + 1)}{i}

求出 $f$ 之后即可得到 $| S |$ 。若 $| S | < k$ ，则期望答案为 $| S |$ 。否则期望答案为 $\sum_{i = k + 1}^{| S |} f (i) + k$ 。