$$ \def\xor{\text{ xor }} \def\mex{\mathrm{mex}} \def\SG{\mathrm{SG}} $$
博弈论题目的特点：
- 没有什么套路；
- 需要具体分析博弈性质；
- 经常需要打表猜结论，很多结论和二进制有关系。
P2197 【模板】Nim 游戏 - 洛谷：在许多地方曾经流行过这样一个小游戏：摆出三堆硬币，分别包含 3 枚、5 枚、7 枚。两人轮流行动，每次可以任选一堆，从中取走任意多枚硬币，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一枚硬币者获得胜利。
这类游戏可以推广为更加一般的形式：
给定 $n$ 堆物品，第 $i$ 堆物品有 $A_i$ 个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手能否必胜。
我们把这种游戏称为 NIM 博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。
若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对手面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。
我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。NIM 博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。
NIM 博弈定理
NIM 博弈先手必胜，当且仅当
$$ A_1 \xor , A_2 \xor , \cdots \xor , A_n \neq 0 $$
证明：
-
必败局面的性质：所有物品都被取光是一个必败局面（对手取走最后一件物品，已经获得胜利），此时显然有
$$ A_1 \xor , A_2 \xor , \cdots \xor , A_n = 0 $$
-
非零异或和的策略构造：对于任意一个局面，如果 $A_1 \xor , A_2 \xor , \cdots \xor , A_n = x \neq 0$，设 $x$ 的二进制表示下最高位的 $1$ 在第 $k$ 位，那么至少存在一堆石子 $A_i$，它的第 $k$ 位是 $1$。显然 $A_i \xor , x < A_i$，我们就从 $A_i$ 堆中取走若干石子，使其变为 $A_i \xor , x$，就得到了一个各堆石子数异或起来等于 $0$ 的局面。
-
零异或和的不变性： 对于任意一个局面，如果 $A_1 \xor , A_2 \xor , \cdots \xor , A_n = 0$，那么无论如何取石子，得到的局面下各堆石子异或起来都不等于 $0$。
综上所述，再由数学归纳法可知，$A_1 \xor , A_2 \xor , \cdots \xor , A_n \neq 0$ 为必胜局面，一定存在必胜策略。
公平组合游戏
一个游戏若满足以下三个条件，则称为公平组合游戏（ICG）：
- 交替行动：游戏由两名玩家轮流进行操作。
- 行动对等性：在游戏的任意时刻，当前玩家可执行的所有合法行动，与轮到哪一方行动无关（即双方可选择的操作集合完全相同）。
- 失败判定：当某玩家无法执行任何合法行动时，该玩家判负，游戏结束。
典型例子分析
-
NIM 博弈属于 ICG：符合 ICG 的所有条件：两名玩家轮流从若干堆石子中取走任意数量，行动选择仅依赖于当前石子堆状态，与玩家身份无关；无法取石子者判负。
-
围棋不属于 ICG
- 不满足条件 2：双方只能分别落黑子或白子，行动选择受限于玩家身份（黑方/白方）。
- 不满足条件 3：胜负判定依赖复杂的规则（如气、围地、劫争等），而非简单的“无法行动则判负”。
策梅洛定理（Zermelo's Theorem）
在 ICG 中，一个局面是必胜的，当且仅当：
- 可以一步之内赢得游戏；
- 或其后继局面中至少有一个是必败的；
一个局面是必败的，当且仅当：
- 无论如何决策，都将马上输掉游戏；
- 或其后继局面中都是必胜的。
有向图游戏
给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。
mex 运算
设 $S$ 表示一个非负整数集合。定义 $\mex(S)$ 为求出不属于集合 $S$ 的最小非负整数的运算，即：
$$ \mex(S) = \min_{x \in \mathbb{N}, x \notin S} \set{x} $$
例如： $$ \mex(\set{0,1,2,4}) = 3\ \mex(\set{2,3,5}) = 0 \ \mex(\emptyset) = 0 $$
SG 函数
在有向图游戏中，对于每个节点 $x$，设从 $x$ 出发共有 $k$ 条有向边，分别到达节点 $y_1, y_2, \cdots, y_k$，定义 $\SG(x)$ 为 $x$ 的后继节点 $y_1, y_2, \cdots, y_k$ 的 SG 函数值构成的集合再执行 $\mex$ 运算的结果，即： $$ \SG(x) = \mex\left(\set{\SG(y_1), \SG(y_2), \cdots, \SG(y_k)}\right) $$
特别地，整个有向图游戏 $G$ 的 SG 函数值被定义为有向图游戏起点 $s$ 的 SG 函数值，即 $\SG(G) = \SG(s)$。
NIM 游戏可以看成 SG 函数的直接应用，单堆石子的 SG 函数为 $\SG(n) = n$。
SG 定理
- 有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值大于 0；
- 有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的 SG 函数值等于 0。
该定理可以用数学归纳法轻松证明，本质上是策梅洛定理的代数形式：
- 在一个没有出边的节点上，棋子不能移动，它的 SG 值为 0，对应必败局面。
- 若一个节点的某个后继节点 SG 值为 0，在 mex 运算后，该节点的 SG 值大于 0。这等价于，若一个局面的后继局面中存在必败局面，则当前局面为必胜局面。
- 若一个节点的后继节点 SG 值均不为 0，在 mex 运算后，该节点的 SG 值为 0。这等价于，若一个局面的后继局面全部为必胜局面，则当前局面为必败局面。
有向图游戏的和
设 $G_1, G_2, \ldots, G_m$ 是 $m$ 个有向图游戏。定义有向图游戏 $G$，它的行动规则是任选某个有向图游戏 $G_i$，并在 $G_i$ 上行动一步。$G$ 被称为有向图游戏 $G_1, G_2, \ldots, G_m$ 的和。
有向图游戏的和的 SG 函数值等于它包含的各个子游戏 SG 函数值的异或和，即：
$$ \SG(G) = \SG(G_1) \xor \SG(G_2) \xor \cdots \xor \SG(G_m) $$
对于若干个有向图游戏的和，其证明方法与 NIM 博弈类似。
