题目背景
SHOI2012 D1T3
题目描述
一棵含 $n$ 个叶结点的二叉树可以通过如下方式生成。初始时只有根结点。首先，将根结点展开（本题中的“展开”是指给一个叶结点添上左、右两个子结点）：
[a]
然后，等概率地随机将两个叶结点中的一个展开，即生成以下两棵树之一：
[b]
之后，每次在当前二叉树的所有叶结点中，等概率地随机选择一个，将其展开。
不断地重复这一操作，直至产生 $n$ 个叶结点为止。例如，某棵含 5 个叶结点的二叉树可能按如下步骤生成。
[c]
对于按该方式随机生成的一棵含 $n$ 个叶结点的二叉树，求：
- 叶结点平均深度 的数学期望值。
- 树深度 的数学期望值。约定根结点的深度为 0。
输入格式
输入仅有一行，包含两个正整数 $q$, $n$，分别表示问题编号以及叶结点的个数。
输出格式
输出仅有一行，包含一个实数 $d$，四舍五入精确到小数点后 $6$ 位。如果 $q = 1$，则 $d$ 表示叶结点平均深度的数学期望值；如果 $q = 2$，则 $d$ 表示树深度的数学期望值。
输入输出样例 #1
输入 #1
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输出 #1
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输入输出样例 #2
输入 #2
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输出 #2
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输入输出样例 #3
输入 #3
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输出 #3
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输入输出样例 #4
输入 #4
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输出 #4
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说明/提示
【样例 1、样例 2 说明】
数学期望值是随机变量的值乘以其概率的总和：记随机变量 $X$ 可能的取值为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，它们取到的概率分别为 $p_1,p_2,\cdots,p_n$，那么随机变量 $X$ 的数学期望值就是
$$ E(X)=\sum_{i = 1}^{n}p_ix_i $$
例如，掷一枚写有 1、2、3、4、5、6 这 6 个数的均匀骰子，掷到的数的数学期望值是：
$$ E=\frac{1}{6}\times1+\frac{1}{6}\times2+\frac{1}{6}\times3+\frac{1}{6}\times4+\frac{1}{6}\times5+\frac{1}{6}\times6 = 3.5 $$
尽管 3.5 不是骰子上的某个数。又如，一道 4 选 1 的选择题，答对得 5 分，不答不得分，答错倒扣 1 分。那么，当我们不答时，一定得 0 分；而等概率地随便猜一个时，得分的数学期望值是：
本题中，根据二叉树的生成方式，当 $n = 4$ 时，下图中前四棵树被生成的概率均为 $1/6$，最后一棵树被生成的概率为 $1/3$。它们的叶结点平均深度分别是 $9/4$、$9/4$、$9/4$、2，因此叶结点平均深度的数学期望值是
$$ E=\frac{1}{6}\times\frac{9}{4}+\frac{1}{6}\times\frac{9}{4}+\frac{1}{6}\times\frac{9}{4}+\frac{1}{6}\times\frac{9}{4}+\frac{1}{3}\times2=\frac{13}{6} $$
而它们的树深度分别是 3、3、3、3、2，因此树深度的数学期望值是
$$ E=\frac{1}{6}\times3+\frac{1}{6}\times3+\frac{1}{6}\times3+\frac{1}{6}\times3+\frac{1}{3}\times2=\frac{8}{3} $$
【数据规模】
| 测试数据编号 | $q$ | $n$ |
|---|---|---|
| 1,2 | $q = 1$ | $2\leq n\leq10$ |
| 3,4,5 | $q = 1$ | $2\leq n\leq100$ |
| 6,7 | $q = 2$ | $2\leq n\leq10$ |
| 8,9,10 | $q = 2$ | $2\leq n\leq100$ |
题解
显然 $n$ 个叶子节点的树是由根节点经过 $n-1$ 次展开操作得到。
设 $f(k)$ 表示有 $k$ 个叶子节点的树的叶子节点平均深度。在一个有 $k - 1$ 个叶子节点的树中随机选择一个叶子节点展开，则树的叶子节点深度总和会增加 $f(k-1)+2$。因此有状态转移：
$$ f(k) = \frac{f(k-1) \times (k-1)+f(k-1)+2}{k} = f(k-1) + \frac{2}{k} $$
计算深度期望需要用到这个式子：
$$ \begin{align*} E(X) & = \sum_{i=1}^{+\infty} i P(X=i) \ & = \sum_{i=1}^{+\infty} \sum_{j=1}^{i} P(X = i) \ & = \sum_{1 \le j \le i < +\infty} P(X = i) \ & = \sum_{j=1}^{+\infty} \sum_{i=j}^{+\infty} P(X = i) \ & = \sum_{j=1}^{+\infty} P(X \ge j) \end{align*} $$
我们设 $g(k, j)$ 表示有 $k$ 个叶子，树的深度 $X \ge j$ 的概率。
转移时枚举左右子树有多少个叶子：
$$ g(k, j) = \sum_{i=1}^{k-1} \frac{1}{k-1} \left( g(i, j-1) + g(k-i, j-1) - g(i, j-1) \times g(k-i, j-1) \right) $$
式子含义：左右只要一边深度 $\ge j-1$ 即可，因此需要减掉两边都 $\ge j-1$ 的概率。
最后答案即为
$$ E(X) = \sum_{i=1}^{n-1} P(X \ge i)= \sum_{i=1}^{n-1} g(n, i) $$
