P10978 Fence

本题是经典 DP 单调队列优化题型。

题目描述

一组由 $k$（$1 \leq k \leq 100$）名工人组成的团队需要粉刷一堵包含 $N$ 个木板的围栏，这些木板从左到右编号为 $1$ 到 $N$（$1 \leq N \leq 16,000$）。每个工人 $i$（$1 \leq i \leq k$）应该坐在木板 $S_i$ 前，他只能粉刷一个连续的区间（这意味着区间内的木板应该是连续的）。这个区间必须包含木板 $S_i$。此外，每个工人粉刷的木板数量不能超过 $L_i$ 个，并且每粉刷一个木板他会得到 $P_i$ 美元（$1 \leq P_i \leq 10,000$）。每个木板最多只能由一个工人粉刷。所有的 $S_i$ 都是不同的。

作为团队的领导者，你需要为每个工人确定他们应该粉刷的区间，并且确保总收入最大化。总收入代表工人个人收入的总和。

编写一个程序来确定 $k$ 名工人获得的总最大收入。

输入格式

输入的第一行是是两个正整数 $N,k$。

接下来 $k$ 行，每行三个正整数 $L_i,P_i,S_i$。

输出格式

输出一个整数，表示总最大收入。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

题解

状态定义和转移

定义 $f(i,j)$ 表示前 $i$ 个木匠粉刷前 $j$ 块木板获得的最大总收入。

考虑转移，共三种情况： $$ f(i,j) = \max\begin{Bmatrix} f(i-1, j) & & \ f(i, j-1) & & \ \max_{j-L_i \le k < j}\set{f(i-1, k) +p_i \times (j-k)} & k < S_i & \ \end{Bmatrix} $$

第 $i$ 个木匠可以什么也不刷。收入为 $f(i-1,j)$。
第 $j$ 个木板可以不被粉刷进行粉刷。收入为 $f(i,j-1)$。
第 $i$ 个木匠对第 $j$ 个木板进行粉刷。枚举第 $i$ 个木匠接着从第 $k+1$ 个木板刷到 $j$（$k+L_i \ge j$），收入为 $f(i-1,k) + p_i \times (j-k)$。

状态转移时，$f(i,j)$取以上三种情况的最大值。