P1753 矩阵链排序问题

题目描述

给定 $n$ 个矩阵，已知第 $i$ 个矩阵 $M_{i}$ 的大小为 $w_{i}$ 行 $w_{i + 1}$ 列，而我们并不关心其内容。我们考虑将其按照顺序相乘（称其为链乘积）：

M = M_{1} \times M_{2} \times \dots \times M_{n}

矩阵乘法并不满足交换律，但是其满足结合律，因此我们可以通过合理安排结合顺序，尽可能减少需要的运算次数。在此题中，我们定义将一个大小为 $a \times b$ 的矩阵乘以一个大小为 $b \times c$ 的矩阵需要 $a b c$ 次运算。

请你算出将题目所给的 $n$ 个矩阵进行链乘积所需的最少运算数。为了方便起见，你不需要构造方案。

输入的第一行为一个正整数 $n$ ，代表矩阵的数量。

接下来的一行包含 $n + 1$ 个正整数，其中第 $i$ 个整数为 $w_{i}$ ，含义参考题目描述。

输出包含一个整数，代表最小运算次数。

1 2	`3 5 3 2 6`

样例解释：样例告诉我们有 $n = 3$ 个矩阵，其大小分别是 $5 \times 3$ ， $3 \times 2$ 和 $2 \times 6$ 。分别考虑两种乘法顺序：

先将 $M_{1}$ 和 $M_{2}$ 相乘得到一个 $5 \times 2$ 的矩阵，然后和 $M_{3}$ 相乘，此时运算次数为 $5 \times 3 \times 2 + 5 \times 2 \times 6 = 90$ ；
先将 $M_{2}$ 和 $M_{3}$ 相乘得到一个 $3 \times 6$ 的矩阵，然后和 $M_{1}$ 相乘，此时运算次数为 $3 \times 2 \times 6 + 5 \times 3 \times 6 = 126$ 。

本题要求运算次数最少，因此答案为 $90$ 。

对所有的数据， $1 \leq n \leq 2 \times 10^{6}$ ， $1 \leq w \leq 10^{4}$ 。其中：

定义 $f (l, r)$ 表示从 $M_{l}$ 到 $M_{r}$ 所有矩阵相乘的最小代价。显然，

f (l, r) = min_{l \leq k < r} {f (l, k) + f (k + 1, r) + w_{l} \times w_{k + 1} \times w_{r + 1}}

该算法复杂度为 $Θ (n^{3})$ 。

查了各种资料发现本题 $O (n \log n)$ 正解是 Hu-Sing 算法，贴个论文解读：[论文解析] Hu-Shing 算法 - 快速求出矩阵链乘积最优解 - 洛谷专栏。