题目描述
甲乙两个人玩取石子游戏。他们面前有一堆共 $n$ 个石子，然后由甲先手，两人轮流从中取走石子：甲第一次取走的个数不能超过 $k$，接下来每个人取走的个数不能超过上一个人刚刚取走个数的 $2$ 倍。每人每次必须至少取一个石子。取走最后一个石子的人失败，另一方获胜。现在已知 $k$，请你求出在 $1$ 到 $N$ 中有多少整数 $n$ 使得甲在 $n$ 颗石子的游戏中有必胜策略。
输入格式
多组数据。
第一行一个正整数 $T$ 表示数据组数。
接下来 $T$ 行每行两个用空格隔开的整数 $k,N$，表示一组询问。
输出格式
输出 $T$ 行，按照输入顺序，每行一个整数表示答案。
输入输出样例 #1
输入 #1
1 | |
输出 #1
1 | |
说明/提示
样例说明
对于样例 $1$，当 $k=1$ 时：
- 如果 $n=1$，甲只能取走唯一一颗石子从而失败。
- 如果 $n=2$，甲取走一颗石子，乙只能取走最后一颗石子，甲获胜。
- 如果 $n=3$，甲只能取走一颗石子，乙再取走一颗石子，甲只能取走最后一颗石子从而失败。
- 如果 $n=4$，甲只能取走一颗石子，乙再取走两颗石子，甲只能取走最后一颗石子从而失败。
- 如果 $n=5$，甲只能取走一颗石子，乙只能取走一颗或两颗石子，甲总能再留给乙留下最后一颗石子从而获胜。
数据说明与提示
对于所有数据，$1 \le T \le 10^5,k,N \le 10^{18}$。
- 对于 $10%$ 的数据，$T,N \le 500$。
- 对于另外 $20%$ 的数据，$T,N \le 10^5$。
- 对于另外 $20%$ 的数据，$T \le 3,N \le 3 \times 10^6$。
- 对于另外 $20%$ 的数据，$k=1$。
- 对于余下 $30%$ 的数据，无特殊限制。
题解
取到最后一颗石子的输，可以直接认为是取到倒数第二颗石子的获胜。
令 $f(i,j)$ 表示还剩 $i$ 颗石子，本次最多能取 $j$ 颗石子时是否是先手必胜。由策梅洛定理，
$$ f(i,j) = \bigvee_{k=1}^{j} [f(i-k,2k) = 0] $$
容易发现，对于某一个特定的 $i$，必然有一个 $j_0$，使得对于所有的 $j \ge j_0$ 都有 $f(i,j) = 1$。
设 $J(i)$ 表示最小的 $j_0$ 使得 $f(i,j_0) = 1$，那么一定有 $J(i - J(i)) \geq 2J(i)$。这一不等式的含义是，局面 $i$ 下取走 $j_0$ 个石子后，下一个局面 $i-j_0$ 必胜所需要取走的数目 $J(i-j_0)$ 必然大于 $2j_0$，否则 $(i,j_0)$ 不是一个必胜局面。
容易发现，这个数列的生成方式与斐波那契数列有关。设 $F_i$ 表示斐波那契数列的第 $i$ 项，$J$ 的前 $F_i$ 项就是将前 $F_{i-2}$ 项接在第 $F_{i-1}$ 项后面，然后将第 $F_i$ 项替换成 $F_i$。换言之，$J(i)$ 等于 $i$ 在斐波那契进制下的 lowbit。
现在要求的答案是 $\sum_{i=0}^{n-1} [J(i) \leq k]$，因为 $J$ 内本质不同的数字个数只有 $O(\log n)$ 个，所以可以分别统计出现次数。
设 $s_{i,j}$ 表示前 $F_i$ 项中 $F_j$ 的出现次数，那么 $s_{i,j}$ 可以 $O(\log^2 n)$ 预处理，之后用类似斐波那契进制的就可以 $O(\log n)$ 地回答询问了。使用简单的前缀和优化可达到 $O(\log^2 n + T\log n)$ 的总复杂度。
