P2473 [SCOI2008] 奖励关

题目描述

你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出 $k$ 次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。

宝物一共有 $n$ 种，系统每次抛出这 $n$ 种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前 $(k-1)$ 次系统都抛出宝物 $1$（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第 $k$ 次抛出各个宝物的概率依然均为 $\frac{1}{n}$。

获取第 $i$ 种宝物将得到 $p_i$ 分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第 $i$ 种宝物有一个前提宝物集合 $s_i$。只有当 $s_i$ 中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第 $i$ 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，$p_i$ 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。

假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？

输入格式

第一行为两个整数，分别表示抛出宝物的次数 $k$ 和宝物的种类数 $n$。

第 $2$ 到第 $(n + 1)$ 行，第 $(i + 1)$ 有若干个整数表示第 $i$ 个宝物的信息。每行首先有一个整数，表示第 $i$ 个宝物的分数 $p_i$。接下来若干个互不相同的整数，表示该宝物的各个前提宝物集合 $s_i$，每行的结尾是一个整数 $0$，表示该行结束。

输出格式

输出一行一个实数表示答案，保留六位小数。

输入输出样例 #1

输入 #1

1 2
1 0
2 0

输出 #1

1.500000

输入输出样例 #2

输入 #2

6 6
12 2 3 4 5 0
15 5 0
-2 2 4 5 0
-11 2 5 0
5 0
1 2 4 5 0

输出 #2

10.023470

数据规模与约定

对于全部的测试点，保证 $1 \leq k \leq 100$，$1 \leq n \leq 15$，$-10^6 \leq p_i \leq 10^6$。

题解

期望 DP 倒序转移。

定义 $f(i, S)$ 为前 $i$ 次已经取得的宝物集合为 $S$ 时，之后在第 $i+1 \sim k$ 次的最大总得分期望。

状态转移时，对每个宝物 $j$，都有 $$ f(i, S) = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{n} \max(f(i+1,S),(f(i+1,S \cup \set{j})+p_j)[R_j \subseteq S]) $$ 其中 $R_j$ 表示宝物 $j$ 的前提宝物集合。

最终答案为 $f(1,\emptyset)$。