P3179 [HAOI2015] 数组游戏

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题目描述

有一个长度为 $n$ 的数组，甲乙两人在上面进行这样一个游戏：首先，数组上有一些格子是白的，有一些是黑的。然后两人轮流进行操作。

每次操作选择一个白色的格子，假设它的下标为 $x$。接着，选择一个大小在 $1\dots \lfloor {\displaystyle \frac{n}{x}}\rfloor$ 之间的整数 $k$，然后将下标为 $x,2\times x,\dots ,k\times x$ 的格子都进行颜色翻转。不能操作的人输。

现在甲（先手）有一些询问。每次他会给你一个数组的初始状态，你要求出对于这种初始状态他是否有必胜策略。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$，表示数组的长度。

第二行包含一个整数 $k$，表示询问的个数。

接下来 $2\times k$ 行，每两行表示一次询问。

在这两行中，第一行一个正整数 $w$，表示数组中有多少个格子是白色的，第二行则有 $w$ 个 $1$ 到 $n$ 之间的正整数，表示白色格子的对应下标。

输出格式

对于每个询问，输出一行一个字符串，若先手必胜输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例 #1

输入 #1

3
2
2
1 2
2
2 3

输出 #1

Yes
No

说明/提示

样例输入输出 1 解释

在第一个询问中，甲选择点 $1$，然后将格子 $1\times 1$ 和 $2\times 1$ 翻过来即可。

第二个询问中，无论甲选择哪个点，都只能翻掉一个格子。乙只需翻掉另一个格子就行了。

数据规模与约定

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，保证 $1\le n\le {10}^9$， $1\le k,w\le 100$ ，不会有格子在同一次询问中多次出现。

题解

本题的结论与 P2594 [ZJOI2009] 染色游戏 - 洛谷 类似。

终止状态显然是所有的格子都是白色。因此对于每个黑色的格子，我们可以将其视为一个独立的游戏单独考虑。换言之，原游戏可拆分成若干个独立的游戏，每个游戏中只有一个黑色的格子。该结论同样可以用数学归纳法证明。

我们用 $\mathrm{SG}(x)$ 表示仅有一个黑色格子 $x$ 的游戏的 SG 函数。

关于 SG 函数的结论：

$$\mathrm{\forall }{x}_1,x_2.\lfloor \frac{n}{x_1}\rfloor =\lfloor \frac{n}{x_2}\rfloor \Rightarrow \mathrm{SG}(x_1)=\mathrm{SG}(x_2)$$

如果理解了游戏划分的原理，这一结论是显然正确的。

$\lfloor \frac{n}{x}\rfloor$ 本质上只有 $O(\sqrt{n})$ 个不同的取值，因此我们整除分块的方式对 $O(\sqrt{n})$ 个数求出 SG 值即可。