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P1912 [NOI2009] 诗人小G

题目链接:P1912 [NOI2009] 诗人小G - 洛谷

本题是 DP 四边形不等式优化经典题型。

题目描述

小 G 是一个出色的诗人,经常作诗自娱自乐。但是,他一直被一件事情所困扰,那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子,对于一些连续的短句,可以将它们用空格隔开并放在一行中,注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度(行的长度为一行中符号的总个数),他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时,不应改变原有的句子顺序,并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下,小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 $P$ 次方,而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗,现在请你对这首诗进行排版,使得排版后的诗尽量协调(即不协调度尽量小),并把排版的结果告诉他。

输入格式

输入文件中的第一行为一个整数 $T$,表示诗的数量。

接下来为 $T$ 首诗,这里一首诗即为一组测试数据。每组测试数据中的第一行为三个由空格分隔的正整数 $N,L,P$,其中:$N$ 表示这首诗句子的数目,$L$ 表示这首诗的行标准长度,$P$ 的含义见问题描述。

从第二行开始,每行为一个句子,句子由英文字母、数字、标点符号等符号组成(ASCII 码 $33 \sim 127$,但不包含 -)。

输出格式

对于每组测试数据,若最小的不协调度不超过 $10^{18}$,则第一行为一个数,表示不协调度。接下来若干行,表示你排版之后的诗。注意:在同一行的相邻两个句子之间需要用一个空格分开。

如果有多个可行解,它们的不协调度都是最小值,则输出任意一个解均可。若最小的不协调度超过 $10^{18}$,则输出 Too hard to arrange。每组测试数据结束后输出 --------------------,共 20 个 -- 的 ASCII 码为 45,请勿输出多余的空行或者空格。

输入输出样例 #1

输入 #1

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4
4 9 3
brysj,
hhrhl.
yqqlm,
gsycl.
4 9 2
brysj,
hhrhl.
yqqlm,
gsycl.
1 1005 6
poet
1 1004 6
poet

输出 #1

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
108
brysj,
hhrhl.
yqqlm,
gsycl.
--------------------
32
brysj, hhrhl.
yqqlm, gsycl.
--------------------
Too hard to arrange
--------------------
1000000000000000000
poet
--------------------

说明/提示

样例输入输出 1 解释

前两组输入数据中每行的实际长度均为 $6$,后两组输入数据每行的实际长度均为 $4$。一个排版方案中每行相邻两个句子之间的空格也算在这行的长度中(可参见样例中第二组数据)。每行末尾没有空格。

数据规模与约定

测试点 $T$ $N$ $L$ $P$
$1$ $\le 10$ $\le18$ $\le 100$ $\le5$
$2$ $\le 10$ $\le 2\times 10^3$ $\le 6\times 10^4$ $\le10$
$3$ $\le 10$ $\le 2\times 10^3$ $\le 6\times 10^4$ $\le10$
$4$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 200$ $\le10$
$5$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 200$ $\le10$
$6$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 3\times 10^6$ $2$
$7$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 3\times 10^6$ $2$
$8$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 3\times 10^6$ $\le10$
$9$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 3\times 10^6$ $\le10$
$10$ $\le 5$ $\le 10^5$ $\le 3\times 10^6$ $\le10$

所有句子的长度不超过 $30$。

题解

状态定义和转移

定义 $f(i)$ 表示前 $i$ 句诗排版的最小不协调度。显然 $$ f(i) = \min_{0 \le j < i}\set{f(j) + |s_i - s_j + i - j - 1 - L|^P} $$ 令 $$ val(i,j) = |s_i - s_j + i - j - 1 - L|^P $$ 其中存在大量关于 $i,j$ 的高次项,不适合单调队列优化或斜率优化。

四边形不等式优化

观察可知,$val(i,j)$ 满足四边形不等式。因此 $f(i)$ 具有决策单调性,即 $p(i)$ 随 $i$ 的增加而单调不减,其中 $p(i)$ 表示状态转移时关于 $i$ 的决策,即 $$ p(i) = \arg\min_{0 \le j < i}\set{f(j) + |s_i - s_j + i - j - 1 - L|^P} $$ 使用单调队列+二分即可轻松维护可行决策集合。