P1912 [NOI2009] 诗人小G

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本题是 DP 四边形不等式优化经典题型。

题目描述

小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。

一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 $P$ 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。

小 G 最近又作了几首诗，现在请你对这首诗进行排版，使得排版后的诗尽量协调（即不协调度尽量小），并把排版的结果告诉他。

输入格式

输入文件中的第一行为一个整数 $T$，表示诗的数量。

接下来为 $T$ 首诗，这里一首诗即为一组测试数据。每组测试数据中的第一行为三个由空格分隔的正整数 $N,L,P$，其中：$N$ 表示这首诗句子的数目，$L$ 表示这首诗的行标准长度，$P$ 的含义见问题描述。

从第二行开始，每行为一个句子，句子由英文字母、数字、标点符号等符号组成（ASCII 码 $33\sim 127$，但不包含 -）。

输出格式

对于每组测试数据，若最小的不协调度不超过 ${10}^{18}$，则第一行为一个数，表示不协调度。接下来若干行，表示你排版之后的诗。注意：在同一行的相邻两个句子之间需要用一个空格分开。

如果有多个可行解，它们的不协调度都是最小值，则输出任意一个解均可。若最小的不协调度超过 ${10}^{18}$，则输出 Too hard to arrange。每组测试数据结束后输出 --------------------，共 20 个 -，- 的 ASCII 码为 45，请勿输出多余的空行或者空格。

输入输出样例 #1

输入 #1

4
4 9 3
brysj,
hhrhl.
yqqlm,
gsycl.
4 9 2
brysj,
hhrhl.
yqqlm,
gsycl.
1 1005 6
poet
1 1004 6
poet

输出 #1

108
brysj,
hhrhl.
yqqlm,
gsycl.
--------------------
32
brysj, hhrhl.
yqqlm, gsycl.
--------------------
Too hard to arrange
--------------------
1000000000000000000
poet
--------------------

说明/提示

样例输入输出 1 解释

前两组输入数据中每行的实际长度均为 $6$，后两组输入数据每行的实际长度均为 $4$。一个排版方案中每行相邻两个句子之间的空格也算在这行的长度中（可参见样例中第二组数据）。每行末尾没有空格。

数据规模与约定

测试点	$T$	$N$	$L$	$P$
$1$	$\le 10$	$\le 18$	$\le 100$	$\le 5$
$2$	$\le 10$	$\le 2\times {10}^3$	$\le 6\times {10}^4$	$\le 10$
$3$	$\le 10$	$\le 2\times {10}^3$	$\le 6\times {10}^4$	$\le 10$
$4$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 200$	$\le 10$
$5$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 200$	$\le 10$
$6$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 3\times {10}^6$	$2$
$7$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 3\times {10}^6$	$2$
$8$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 3\times {10}^6$	$\le 10$
$9$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 3\times {10}^6$	$\le 10$
$10$	$\le 5$	$\le {10}^5$	$\le 3\times {10}^6$	$\le 10$

所有句子的长度不超过 $30$。

题解

状态定义和转移

定义 $f(i)$ 表示前 $i$ 句诗排版的最小不协调度。显然

$$f(i)=\underset{0\le j<i}{min}\{f(j)+|s_i-s_j+i-j-1-L{|}^P\}$$

令

$$val(i,j)=|s_i-s_j+i-j-1-L{|}^P$$

其中存在大量关于 $i,j$ 的高次项，不适合单调队列优化或斜率优化。

四边形不等式优化

观察可知，$val(i,j)$ 满足四边形不等式。因此 $f(i)$ 具有决策单调性，即 $p(i)$ 随 $i$ 的增加而单调不减，其中 $p(i)$ 表示状态转移时关于 $i$ 的决策，即

$$p(i)=\arg \underset{0\le j<i}{min}\{f(j)+|s_i-s_j+i-j-1-L{|}^P\}$$

使用单调队列+二分即可轻松维护可行决策集合。