你正在玩你最喜欢的电子游戏，并且刚刚进入一个奖励关。在这个奖励关里，系统将依次随机抛出 $k$ 次宝物，每次你都可以选择吃或者不吃（必须在抛出下一个宝物之前做出选择，且现在决定不吃的宝物以后也不能再吃）。
宝物一共有 $n$ 种，系统每次抛出这 $n$ 种宝物的概率都相同且相互独立。也就是说，即使前 $(k-1)$ 次系统都抛出宝物 $1$（这种情况是有可能出现的，尽管概率非常小），第 $k$ 次抛出各个宝物的概率依然均为 $\frac{1}{n}$。
获取第 $i$ 种宝物将得到 $p_i$ 分，但并不是每种宝物都是可以随意获取的。第 $i$ 种宝物有一个前提宝物集合 $s_i$。只有当 $s_i$ 中所有宝物都至少吃过一次，才能吃第 $i$ 种宝物（如果系统抛出了一个目前不能吃的宝物，相当于白白的损失了一次机会）。注意，$p_i$ 可以是负数，但如果它是很多高分宝物的前提，损失短期利益而吃掉这个负分宝物将获得更大的长期利益。
假设你采取最优策略，平均情况你一共能在奖励关得到多少分值？
甲乙两个人玩取石子游戏。他们面前有一堆共 $n$ 个石子，然后由甲先手，两人轮流从中取走石子：甲第一次取走的个数不能超过 $k$，接下来每个人取走的个数不能超过上一个人刚刚取走个数的 $2$ 倍。每人每次必须至少取一个石子。取走最后一个石子的人失败，另一方获胜。现在已知 $k$，请你求出在 $1$ 到 $N$ 中有多少整数 $n$ 使得甲在 $n$ 颗石子的游戏中有必胜策略。
多组数据。
第一行一个正整数 $T$ 表示数据组数。
一个风和日丽的早晨，小 $\mathrm{S}$ 带着他的好朋友小 $\mathrm{A}$ 在小树林里面数树。
看着满树林的树，小 $\mathrm{S}$ 灵感一闪，想到了一道题目。
$$ \mathrm{Suddenly,\ Little\ S\ thought\ of\ a\ supercalifragilisticexpialidocious\ problem.} \ \mathrm{He\ wanted\ Little\ A\ to\ answer\ it.} $$
Alice 想要得到一个长度为 $n$ 的序列，序列中的数都是不超过 $m$ 的正整数，而且这 $n$ 个数的和是 $p$ 的倍数。
Alice 还希望，这 $n$ 个数中，至少有一个数是质数。
Alice 想知道，有多少个序列满足她的要求。
$$ \def\xor{\text{ xor }} \def\mex{\mathrm{mex}} \def\SG{\mathrm{SG}} $$
有一个长度为 $n$ 的数组，甲乙两人在上面进行这样一个游戏：首先，数组上有一些格子是白的，有一些是黑的。然后两人轮流进行操作。
每次操作选择一个白色的格子，假设它的下标为 $x$。接着，选择一个大小在 $1\ldots \lfloor \dfrac{n}{x} \rfloor$ 之间的整数 $k$，然后将下标为 $x,2\times x,\ldots ,k\times x$ 的格子都进行颜色翻转。不能操作的人输。
现在甲（先手）有一些询问。每次他会给你一个数组的初始状态，你要求出对于这种初始状态他是否有必胜策略。
给定两个多项式 $A(x)$ 和 $B(x)$：
$$ A(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_nx^n \ B(x) = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \dots + b_mx^m $$
我们需要计算它们的乘积 $C(x) = A(x) \cdot B(x)$。
一个简单的问题，什么是递推？
定义一个数列 $\set{a_0 \dots a_{n - 1} }$ 的递推式为满足下式的序列 $\set{r_0\dots r_m}$：
$$ \sum_{j = 0} ^ m r_j a_{i - j} = 0, \forall i \ge m $$
$$ \def\xor{\text{ xor }} \def\mex{\mathrm{mex}} \def\SG{\mathrm{SG}} $$
小 A 是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小 A 有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。
游戏的规则是这样的，首先给定一个数 $F$，然后游戏系统会产生 $T$ 组游戏。每一组游戏包含 $N$ 堆石子，小 A 和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于 $2$ 的正整数 $M$（$M$ 是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样），然后将任意一堆数量不小于 $F$ 的石子分成 $M$ 堆，并且满足这 $M$ 堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多 $1$（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定 $M$ 和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于 $F$ 时，他就输掉。补充：先手从 $N$ 堆石子中选择一堆数量不小于 $F$ 的石子分成 $M$ 堆后，此时共有 $N+M-1$ 堆石子，接下来小 A 从这 $N+M-1$ 堆石子中选择一堆数量不小于 $F$ 的石子，依此类推。
小 A 从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小 A 现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？