$$ \def\xor{\text{ xor }} \def\mex{\mathrm{mex}} \def\SG{\mathrm{SG}} $$
Urej 喜欢玩各种类型的沉闷游戏。他通常会邀请其他人和他一起玩。他说，玩这些游戏可以展现他的非凡智慧。最近，Urej 对一个新游戏产生了极大兴趣，而 Erif Nezorf 成为了牺牲品。为了摆脱玩这样一个沉闷游戏的痛苦，Erif Nezorf 请求你的帮助。这个游戏使用一个由 $W \times H$ 格网组成的矩形纸张。两名玩家轮流将纸张切割成两个矩形部分。在每个回合中，玩家可以横向或纵向切割，保持每个格网完整。经过 $N$ 轮后，纸张将被切割成 $N+1$ 片，然后在后续的回合中，玩家可以选择任意一片进行切割。如果一名玩家切割出一个只有一个格网的纸片，他就赢得了游戏。如果这两个人都非常清楚，你应该写一个问题来告诉是否先手的玩家能赢得游戏。
$$ \def\xor{\text{ xor }} \def\mex{\mathrm{mex}} \def\SG{\mathrm{SG}} $$
博弈论题目的特点：
P2197 【模板】Nim 游戏 - 洛谷：在许多地方曾经流行过这样一个小游戏：摆出三堆硬币，分别包含 3 枚、5 枚、7 枚。两人轮流行动，每次可以任选一堆，从中取走任意多枚硬币，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一枚硬币者获得胜利。
这类游戏可以推广为更加一般的形式：
Bessie 有一行 $N$（$2\le N\le 300$）块瓷砖，依次具有丑陋度 $a_1,a_2,\ldots,a_N$（$1\le a_i\le 10^6$）。其中 $K$（$0\le K\le \min(N,6)$）块瓷砖卡住了；具体地，索引为 $x_1,\ldots,x_K$（$1\le x_1<x_2<\cdots<x_K\le N$）的瓷砖。
Bessie 想要最小化瓷砖的总丑陋度，其中总丑陋度定义为每对相邻瓷砖的最大丑陋度之和；即 $\sum\limits^{N−1}{i=1}\max(a_i,a{i+1})$。她可以任意次执行以下操作：选择两块均未卡住的瓷砖，并交换它们。
求 Bessie 以最优方案执行操作可以达到的最小总丑陋度。
题目链接：P2106 Sam 数 - 洛谷。
本题是经典矩阵乘法优化 DP 题目。
小 Z 最近发现了一种非常有趣的数，他将这种数称之为 Sam 数。
Sam 数具有以下特征：相邻两位的数字之差不超过 $2$。
题目链接：P2703 [NOI2006] 千年虫 - 洛谷。
本题使用奇妙性质优化 DP。
千年虫是远古时代的生物，时隔几千万年，千年虫早已从地球上销声匿迹，人们对其知之甚少。考古生物学家最近开始对其有了兴趣，因为一批珍贵的千年虫化石被发现，这些化石保留了千年虫近乎完整的形态。
理论科学家们根据这些化石归纳出了千年虫的一般形态特征模型，并且据此判定出千年虫就是蜈蚣的祖先！但科学家 J 发现了实际与理论的一些出入，他仔细的研究了上百个千年虫化石，发现其中大部分千年虫的形态都不完全符合理论模型，这到底是什么因素造成的呢？理论科学家 K 敏锐的指出，千年虫的形态保存在化石中很有可能发生各种变化，即便最细微的变化也能导致它不符合模型。
题目链接：P2470 [SCOI2007] 压缩 - 洛谷。
给一个由小写字母组成的字符串，我们可以用一种简单的方法来压缩其中的重复信息。压缩后的字符串除了小写字母外还可以（但不必）包含大写字母 R 与 M，其中 M 标记重复串的开始，R 重复从上一个 M（如果当前位置左边没有 M，则从串的开始算起）开始的解压结果（称为缓冲串）。
bcdcdcdcd 可以压缩为 bMcdRR，下面是解压缩的过程：
| 已经解压的部分 | 解压结果 | 缓冲串 |
|---|---|---|
| b | b | b |
| bM | b | . |
| bMc | bc | c |
| bMcd | bcd | cd |
| bMcdR | bcdcd | cdcd |
| bMcdRR | bcdcdcdcd | cdcdcdcd |
题目链接：P2145 [JSOI2007] 祖玛 - 洛谷。
这是一个流行在 Jsoi 的游戏，名称为祖玛。
精致细腻的背景，外加神秘的印加音乐衬托，彷佛置身在古老的国度里面，进行一个神秘的游戏——这就是著名的祖玛游戏。祖玛游戏的主角是一只石青蛙，石青蛙会吐出各种颜色的珠子，珠子造型美丽，并且有着神秘的色彩。
环绕着石青蛙的是载着珠子的轨道，各种颜色的珠子会沿着轨道往前滑动，石青蛙必需遏止珠子们滚进去轨道终点的洞里头，如何减少珠子呢？就得要靠石青蛙吐出的珠子与轨道上的珠子相结合，颜色相同者即可以消失得分！直到轨道上的珠子通通都被清干净为止。 或许你并不了解祖玛游戏。没关系。这里我们介绍一个简单版本的祖玛游戏规则。一条通道中有一些玻璃珠，每个珠子有各自的颜色，如图 1 所示。玩家可以做的是选择一种颜色的珠子（注意：颜色可以任选，这与真实游戏是不同的）射入某个位置。
$$ \def\TS{\mathrm{TS}} \def\Act{\mathrm{Act}} \def\AP{\mathrm{AP}} \def\Post{\mathrm{Post}} \def\O{\mathrm{O}} $$
摘要
题目 1-7 来自作业 1；
题目 8-12 来自作业 2；
13 及之后是考前划重点。
给定 $n$ 个矩阵，已知第 $i$ 个矩阵 $M_i$ 的大小为 $w_i$ 行 $w_{i+1}$ 列，而我们并不关心其内容。我们考虑将其按照顺序相乘（称其为链乘积）：
$$ M = M_1 \times M_2 \times \cdots \times M_n $$
矩阵乘法并不满足交换律，但是其满足结合律，因此我们可以通过合理安排结合顺序，尽可能减少需要的运算次数。在此题中，我们定义将一个大小为 $a \times b$ 的矩阵乘以一个大小为 $b \times c$ 的矩阵需要 $abc$ 次运算。
请你算出将题目所给的 $n$ 个矩阵进行链乘积所需的最少运算数。为了方便起见，你不需要构造方案。
题目链接：P1912 [NOI2009] 诗人小G - 洛谷。
本题是 DP 四边形不等式优化经典题型。
小 G 是一个出色的诗人，经常作诗自娱自乐。但是，他一直被一件事情所困扰，那就是诗的排版问题。
一首诗包含了若干个句子，对于一些连续的短句，可以将它们用空格隔开并放在一行中，注意一行中可以放的句子数目是没有限制的。小 G 给每首诗定义了一个行标准长度（行的长度为一行中符号的总个数），他希望排版后每行的长度都和行标准长度相差不远。显然排版时，不应改变原有的句子顺序，并且小 G 不允许把一个句子分在两行或者更多的行内。在满足上面两个条件的情况下，小 G 对于排版中的每行定义了一个不协调度, 为这行的实际长度与行标准长度差值绝对值的 $P$ 次方，而一个排版的不协调度为所有行不协调度的总和。